哈工大A16公寓1214室 院士之家团队之作品

（Ps：请各位师兄弟姐妹们抄的时候注意改动一下，尽量不要太雷同）

实验报告一

题目： 非线性方程求解

摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。

前言：（目的和意义）

掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理：

对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。

对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。

Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式

xk?1?xk?f(xk) 'f(xk)产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为

xk?1?xk?rf(xk) f'(xk)其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。

程序设计：

本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下

function y=f(x); y=-x*x-sin(x);

写成如上形式即可，下面给出主程序。

二分法源程序：

.1.

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clear

%%%给定求解区间 b=1.5; a=0; %%%误差 R=1;

k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end

R=b-a;%求出误差 k=k+1; end

x=c%给出解

Newton法及改进的Newton法源程序：

clear

%%%% 输入函数

f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f);

%%%改进常数或重根数 miu=2; %%%初始值x0

x0=input('input initial value x0>>'); k=0;%迭代次数

max=100;%最大迭代次数

R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解 while (abs(R)>1e-8)

x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x')); R=x1-x0; x0=x1;

.2.

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k=k+1;

if (eval(subs(f,'x0','x'))<1e-10); break end

if k>max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值 ss=input('maybe result is error,choose a new x0,y/n?>>','s'); if strcmp(ss,'y')

x0=input('input initial value x0>>'); k=0; else break end end end

k;%给出迭代次数 x=x0；%给出解

结果分析和讨论：

x2?0在[1，2]内的根。(??5*10?6,下同) 1. 用二分法计算方程sinx?2计算结果为

x= 1.40441513061523；

f(x)= -3.797205105904311e-007； k=18；

由f(x)知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。

2. 用二分法计算方程x3?x?1?0在[1，1.5]内的根。 计算结果为

x= 1.32471847534180； f(x)= 2.209494846194815e-006； k=17；

由f(x)知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。

3. 用Newton法求解下列方程 a) xex?1?0 x0=0.5； 计算结果为

x= 0.56714329040978；

.3.

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f(x)= 2.220446049250313e-016； k=4；

由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。

b) x3?x?1?0 x0=1；

c) (x?1)2(2x?1)?0 x0=0.45, x0=0.65；

当x0=0.45时，计算结果为

x= 0.49999999999983；

f(x)= -8.362754932994584e-014； k=4；

由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快，实际上该方程确实有真解x=0.5。

当x0=0.65时，计算结果为

x= 0.50000000000000； f(x)=0； k=9；

由f(x)知结果满足要求，实际上该方程确实有真解x=0.5，但迭代次数增多，实际上当取x0〉0.68时，x≈1，就变成了方程的另一个解，这说明Newton法收敛与初值很有关系，有的时候甚至可能不收敛。

4. 用改进的Newton法求解，有2重根，取??2

(x?1)2(2x?1)?0 x0=0.55；并与3.中的c)比较结果。

当x0=0.55时，程序死循环，无法计算，也就是说不收敛。改??1.5时，结果收敛为

x=0.50000087704286； f(x)=4.385198907621127e-007； k=16；

显然这个结果不是很好，而且也不是收敛至方程的2重根上。

当x0=0.85时，结果收敛为

x= 1.00000000000489； f(x)= 2.394337647718737e-023； k=4；

这次达到了预期的结果，这说明初值的选取很重要，直接关系到方法的收敛性，实际上直接用Newton法，在给定同样的条件和精度要求下，可得其迭代次数k=15，这说明改进后的Newton法法速度确实比较快。 结论：

对于二分法，只要能够保证在给定的区间内有根，使能够收敛的，当时收敛的速度和

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给定的区间有关，二且总体上来说速度比较慢。Newton法，收敛速度要比二分法快，但是最终其收敛的结果与初值的选取有关，初值不同，收敛的结果也可能不一样，也就是结果可能不时预期需要得结果。改进的Newton法求解重根问题时，如果初值不当，可能会不收敛，这一点非常重要，当然初值合适，相同情况下其速度要比Newton法快得多。

.5.