学习贵在落实

13、在□ABCD中，∠B＝30°，AB＝6，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在□ABCD所在的平面内，连B′D．当BC的长为_____________________时，△AB′D是直角三角形

答案：2、22、32或

32 214、如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，点P、Q分别在OA、

OB上，则MP＋PQ＋QN的最小值是__________34

15、如图，正方形ABCD中，E在AD上，F、M在CD上，且DE＝CF＝DM，CE交BF于H，交BD于

Q，BF、QM的延长线交于P

(1) 求证：BF＝CE

(2) 当H为BP中点时，试探究CQ、DQ与PB的数量关系并证明 (3) 在(2)的条件下，直接写出

证明：(1) ∵△CDE≌△BCF（SAS）

∴BF＝CE

CQ的值 DQ 5

学习贵在落实

(2) ∵△CDE≌△BCF（SAS） ∴∠DCE＝∠CBF

∴∠CBH＋∠HCB＝∠BCD＝90° ∴BF⊥CE ∵H为BP的中点 ∴CE垂直平分线段BP ∵DE＝DM

∴△DQE≌△DQM（SAS） ∴∠DEQ＝∠DMQ＝∠PMF 又∠DEC＝∠BFC＝∠PFM ∴∠PMF＝∠PFM ∴△PMF为等腰三角形 过点P作PK⊥CD于K

∴∠MPK＝∠FPK＝∠CBF，∠QBP＝∠P＝2∠PBC ∴∠QBP＝30°，∠PBC＝15° 结论一：连接DP、CP，则BC＝PC 可得：△DCP为等边三角形 在四边形CQDP中

由对角互补四边形模型可得CQ＋DQ＝PQ ∴BP＝3(CQ＋DQ)

结论二：过点D作DN⊥EC于N 由三垂直可得：△BCH≌△CDN（AAS） ∵∠P＝∠PBQ＝30°，∠BQH＝∠PQH＝60° ∴∠DQM＝∠DQN＝60° ∴CQ＋QN＝CQ＋112DQ＝BH＝2BP 即2CQ＋DQ＝BP

(3) ∵2CQ＋DQ＝PB ∴2CQ＋DQ＝2BH＝23QH

6

学习贵在落实

设QN＝1，DQ＝2，DQ＝CH＝3 ∴2CQ＋2＝23(CQ－3)，CQ?2(3?1) ∴

CQDQ?3?1 16、如图，□OABC的顶点O、A、C的坐标分别是(0，0)、(b，c)、(a，0) (1) 若a、b、c满足2a?8?(b?2)2?|12c?1|?0，求顶点B的坐标

(2) P为□OABC内一点，若△POA的面积为

23，△POC的面积为2，求△POB的面积 (3) 如图，若□OABC中，OC＝2CB，CE⊥AB于E，F为AB中点．当∠EFB＝k∠AEF时，求k值

解：(1) B(6，2)

(2) ∵S△PAB＋S△POC＝S△POA＋S△PAB＋S△POB＝12S□ABCD ∴S△POB＝S△POC－S△POA＝2?23?43 (3) 延长EF交CB的延长线于G ∵F为AB的中点

∴△AEF≌△BGF（AAS） ∴∠AEF＝∠G 连接FC ∵CE⊥AB ∴∠BCE＝90°

∴F为Rt△ECG的斜边中线 ∴CF＝EF＝FG 设∠AEF＝α ∴∠G＝∠FCG＝α

7

学习贵在落实

∵OC＝2CB ∴BC＝BF

∴∠BFC＝∠BCF＝α 又∠EFC＝∠G＋∠FCG＝2α ∴∠EFC＝3α ∴k＝3

17、如图，菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是_________

18、如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，有AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是_________ 19、在菱形ABCD和等边△BGF中，∠ABC＝60°，P是DF中点，连接PG、PC

(1) 如图1，点G在BC边上时，线段PC、PG的关系为______________（直接写出结论，不需要证明） (2) 如图2，当点F在AB的延长线上时，试判断PC、PG有怎样的关系，并给予证明

(3) 如图3，当点F在CB的延长线上时，请在图3的基础上把图形补充完整，并探究线段PC、PG的关系为____________（直接写出结论，不需证明）

20、在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，OA在x轴正半轴上，OC在y轴正半轴上，且

A(10，0)、C(0，8)

(1) 如图1，在矩形OABC的边AB上取一点E，连接OE，将△AOE沿OE折叠，使点A恰好落在BC边上的F处，求AE的长

(2) 将矩形OABC的AB边沿x轴负方向平移至MN（其它边保持不变），M、N分别在边OA、CB上且满足CN＝OM＝OC＝MN

8