第一章习题

1.4 细杆OL绕O点以角速?转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动。图中的d为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。

解 如题1.4.1图所示，

LAd?O第1.4题图xCB

OL绕O点以匀角速度转动，C在AB上滑动，因此C点有一个垂直杆的速度分

量

v????OC??d2?x2

C点速度

v?d2?x22 v??v?sec???dsec???cos?d???所以C点加速度 又因为?dv2?2xd2?x222?a???d?2sec??sec??tan???2d?sec?tan??dtd2

??

1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：

?t??a?c?1?sin?

2T??式中c及T为常数，试求运动开始t秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。

解 由题可知，变加速度表示为

?t??a?c?1?sin?

2T??由加速度的微分形式我们可知

a?dv dt代入得

?t??dv?c?1?sin?dt

2T??对等式两边同时积分可得 ：

v?ct?2T?0vt??t?dv?c??1?sin?dt 02T???ccos?t2T?D（D为常数）

代入初始条件：t?0时，v?0，故

D??2T?c

?2T??t???1?? ?cos即v?c?t???2T???又因为v?ds dt?2T??t??ct?cos?1???dt 所以???2T???ds?

对等式两边同时积分，可得：

?12T?2T?t??s?c?t2?sin?t?? ????2T???21.6 一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为?r及??，式中?及?是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为

?r?2?2?2???,?????? rr??解 由题可知质点的位矢速度v//??r (1)

沿垂直于位矢速度v???? (2)

又因为

v // ? r? ? ? r

???r (3) ， 即 r???v???r?????? (4)

r对③求导

2 r (5) ? ? ? r?? ? ?r

对④求导

???????r2??r??? (6)

r根据课本的推导可知 沿位矢方向加速度

?2 （7） ??r?a??r垂直位矢方向加速度

?????2r? （8） ??a??r?

把（3）（4）（5）（6）代入（7）（8）式中可得

a//??r?2???2?2r

???a????????

r??