数字信号处理实验 下载本文

实验二 DFT用于频谱分析

(一)、在运用DFT进行频谱分析的过程中可能产生三种误差:

(1) 混叠

序列的频谱时被采样信号的周期延拓,当采样速率不满足Nyquist定理时,就会发生频谱混叠,使得采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。 避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高,使频谱混叠现象不致出现,即在确定采样频率之前,必须对频谱的性质有所了解,在一般情况下,为了保证高于折叠频率的分量不会出现,在采样前,先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。 (2) 泄漏

实际中我们往往用截短的序列来近似很长的甚至是无限长的序列,这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析,这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数,也相当于在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积,所得的频谱是原序列频谱的扩展。

泄漏不能与混叠完全分开,因为泄漏导致频谱的扩展,从而造成混叠。为了减少泄漏的影响,可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减至最小。

DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样,所以它不可能将频谱视为一个连续函数,就一定意义上看,用DFT来观察频谱就好像通过一个栅栏来观看一个图景一样,只能在离散点上看到真实的频谱,这样就有可能发生一些频谱的峰点或谷点被“尖桩的栅栏”所拦住,不能别我们观察到。

减小栅栏效应的一个方法就是借助于在原序列的末端填补一些零值,从而变动DFT的点数,这一方法实际上是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置,相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”的位置,从而使得频谱的峰点或谷点暴露出来。

用FFT可以实现两个序列的圆周卷积。在一定的条件下,可以使圆周卷积等于线性卷积。一般情况,设两个序列的长度分别为N1和N2,要使圆周卷积等于线性卷积的充要条件是FFT的长度 N≥N1+N2

对于长度不足N的两个序列,分别将他们补零延长到N。

当两个序列中有一个序列比较长的时候,我们可以采用分段卷积的方法。有两种方法:

重叠相加法。将长序列分成与短序列相仿的片段,分别用FFT对它们作线性卷积,再将分段卷积各段重叠的部分相加构成总的卷积输出。

重叠保留法。这种方法在长序列分段时,段与段之间保留有互相重叠的部分,在构成总的卷积输出时只需将各段线性卷积部分直接连接起来,省掉了输出段的直接相加。

(三)、用周期图法(平滑周期图的平均法)对随机信号作谱分析 实际中许多信号往往既不具有有限能量,由非周期性的。

无限能量信号的基本概念是随机过程,也就是说无限能量信号是一随机信号。周期图法是随机信号作谱分析的一种方法,它特别适用于用FFT直接计算功率谱的估值。

将长度为N的实平稳随机序列的样本x(n)再次分割成K段,每段长度为L,即

L=N/K。每段序列仍可表示为: xi(n)=x(n+(i-1)L),0≤n≤L-1,1≤i≤K

但是这里在计算周期图之前,先用窗函数w(n)给每段序列xi(n)加权,K个修正的周期图定义为

其中U表示窗口序列的能量,它等于:

在此情况下,功率谱估计量可表示为:

三、实验内容及步骤

实验中用到的信号序列:

a) Gaussian序列

b) 衰减正弦序列

c) 三角波序列

d)反三角波序列

上机实验内容

(1)观察高斯序列的时域和幅频特性,固定信号xa(n)中参数p=8,改变q的值,使q分别等于2,4,8,观察它们的时域和幅频特性,了解当q取不同值时,对信号序列的时域幅频特性的影响;固定q=8,改变p,使p分别等于8,13,14,观察参数p变化对信号序列的时域及幅频特性的影响,观察p等于多少时,会发生明显的泄漏现象,混叠是否也随之出现?记录实验中观察到的现象,绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。

(2)观察衰减正弦序列xb(n)的时域和幅频特性,a=0.1,f=0.0625,检查谱峰出现位置是否正确,注意频谱的形状,绘出幅频特性曲线,改变f,使f分别等于0.4375和0.5625,观察这两种情况下,频谱的形状和谱峰出现位置,有无混叠和泄漏现象?说明产生现象的原因。

(3)观察三角波和反三角波序列的时域和幅频特性,用N=8点FFT分析信号序列xc(n)和xd(n)的幅频特性,观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同?绘出两序列及其幅频特性曲线。在xc(n)和xd(n)末尾补零,用N=16点FFT分析这两个信号的幅频特性,观察幅频特性发生了什么变化?两情况的FFT频谱还有相同之处吗?这些变化说明了什么?

(4)一个连续信号含两个频率分量,经采样得

x(n)=sin2π*0.125n+cos2π*(0.125+Δf)n n=0,1……,N-1 已知N=16,Δf分别为1/16和1/64,观察其频谱;当N=128时,Δf不变,其结果有何不同,为什么?

(5)用FFT分别实现xa(n)(p=8,q=2)和 xb(n)(a=0.1,f=0.0625)的16点圆周卷积和线性卷积。

(6)产生一512点的随机序列xe(n),并用xc(n)和xe(n)作线性卷积,观察卷积前后xe(n)频谱的变化。要求将xe(n)分成8段,分别采用重叠相加法和重叠保留法。

四,实验程序及结果图像

1, 高斯序列

N=16;

n=0:1:15; p=8; q=2; %q=4; %q=8; a=0.1; f=0.0625;

xa=exp(-((n-p).^2)./q);

xb=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n); figure(1)

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