第六章 线性空间

3．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1）次数等于n（n?1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

2）设A是一个n?n实矩阵，A的实系数多项式f(A)的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体n级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

(a1,b1)?(a2,b2)?(a1?a2,b1?b2?a1a2)，

k?(a1,b1)?(ka1,kb1?k(k?1)2a1)； 2 6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

k???0；

7）集合与加法同6），数量乘法定义为：

k????；

8）全体正实数R，加法与数量乘法定义为：

?a?b?ab，k?a?ak．

解 1）不能构成实数域上的线性空间．

因为两个n次多项式相加不一定是n次多项式，所以对加法不封闭． 2）能构成实数域上的线性空间．

事实上，V?{f(A)|f(x)?R[x]}即为题目中的集合，显然，对任意的f(A),g(A)?V，及k?R，有

f(A)?g(A)?h(A)?V，kf(A)?(kf)(A)?V，

其中h(x)?f(x)?g(x)．这就说明V对于矩阵的加法和数量乘法封闭．容易验证，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，故V构成实数域上的线性空间．

3）能构成实数域上的线性空间．

由于矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，故只需证明对称（反对称，上三角）矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可．而两个对称（反对称，上三角）矩阵的和仍为对称（反对称，上三

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角）矩阵，一个数k乘对称（反对称，上三角）矩阵也仍为对称（反对称，上三角）矩阵．于是，n级实对称（反对称，上三角）矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，都构成实数域上的线性空间．

4）不能构成实数域上的线性空间．

因为，两个不平行与某一向量?的两个向量的和可能平行于?，例如：以?为对角线的任意两个向量的和都平行于?，从而不属于题目中的集合．

5）能构成实数域上的线性空间．

事实上，显然，按照题目中给出的加法和数量乘法都封闭．容V?{(a,b)|a,b?R}即为题目中的集合．易验证，对于任意的(a,b)，(ai,bi)?V，i?1,2,3；k,l?R，有

①由于两个向量的分量在加法中的位置是对称的，故加法交换律成立； ②直接验证，可知加法的结合律也成立；

③由于(a,b)?(0,0)?(a?0,b?0?0)?(a,b)，故(0,0)是V中加法的零元素；

④如果(a,b)?(a1,b1)?(a?a1,b?b1?aa1)?(0,0)，则有(a1,b1)?(?a,a2?b)，即(?aa,2b?)为

(a,b)的负元素；

1(1?1)2a)?(a,b)； 2l(l?1)2l(l?1)2k(k?1)a)?(kla,k[lb?a]?(la)2) ⑥k?(l?(a,b))?k?(la,lb?222kl(kl?1)2a)?(kl)?(a,b)； ?(kla,klb?2k(k?1)2l(l?1)2a)?(la,lb?a) ⑦k?(a,b)?l?(a,b)?(ka,kb?22k(k?1)2l(l?1)2?(ka?la,kb?a?lb?a?kla2)

22(k?1)(k?l?1)2?[(k?l)a,(k?l)b?a]

2⑤1?(a,b)?(1a,1b??(k?l)?(a,b)；

⑧k?[(a1,b1)?(a2,b2)]?k?(a1?a2,b1?b2?a1a2)

?[k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?而

k(k?1)(a1?a2)2]， 2k?(a1,b1)?k?(a2,b2)?(ka1,kb1?k(k?1)2k(k?1)2a1)?(ka2,kb2?a2) 22k(k?1)2k(k?1)2?(ka1?ka2,kb1?a1?kb2?a2?k2a1a2)

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?[k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?即k?[(a1,b1)?(a2,b2)]?k?(a1,b1)?k?(a2,b2)．

k(k?1)(a1?a2)2]， 2 于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以V构成实数域上的一个线性空间．

6）不能构成实数域上的线性空间．

因为1???0??，故不满足定义的第5条规律． 7）不能构成实数域上的线性空间．

因为(k?l)?????2??????k???l??，故不满足定义的第7条规律． 8）能构成实数域上的线性空间．

由于两个正实数相乘还是正实数，正实数的指数还是正实数，故R对定义的加法和数量乘法都是封闭的．容易验证，对于任意的a,b?R，k,l?R，有

①a?b?ab?ba?b?a；

②(a?b)?c?(ab)?c?abc?a?(bc)?a?(b?c)； ③a?1?a1?a，即1是定义的加法?的零元素； ④a???111?a?1，即是a的负元素； aaa1⑤1?a?a?a；

⑥k?(l?a)?k?(a)?(a)?a?a?(kl)?a； ⑦(k?l)?a?ak?lllklkkl?akal?(k?a)?(l?a)

kkk⑧k?(a?b)?k?(ab)?(ab)?ab?(k?a)?(k?b)．

于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以R构成实数域上的一个线性空间． 『方法技巧』直接根据定义逐条验证即可，但是也要注意验证所给的加法和数量乘法是封闭的． 4．在线性空间中，证明：

1）k0?0；

2）k(???)?k??k?．

『解题提示』利用线性空间定义的运算所满足的规律和性质．

证明 1）证法１ 由于对任意的向量?，存在负向量??，使得??(??)?0，故

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