插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分

他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义 在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律的 目的，即通过\窥几斑\来达到\知全豹\。

简单的讲，所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通 过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λ3), 使得该函数与已知点集的 差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者 线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表 达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。

而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通 过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给 定离散点上满足约束。插值函数又叫作基函数，如果该基函数定义在 整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。如果约束条件中只有 函数值的约束，叫作Lagrange插值，否则叫作Hermite插值。

从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式 未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个( 或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。 一、 概念的引入

1. 插值与拟合在现实生活中的应用 l 机械制造：汽车外观设计

l 采样数据的重新建构：电脑游戏中场景的显示，地质勘探，医学领域（CT） 2. 概念的定义

l 插值：基于[a,b]区间上的n个互异点，给定函数f(x)，寻找某个函数去逼近f(x)。若要求φ(x)在xi处与f(xi)相等，这类的函数逼近问题称为插值问题，xi即是插值点

l 逼近： 当取值点过多时，构造通过所有点的难度非常大。此时选择一个次数较低的函数最佳逼近这些点，一般采用最小二乘法 l 光顾： 曲线的拐点不能太多，条件：

①二阶几何连续②不存在多余拐点③曲率变化较小

l 拟合：曲线设计过程中用插值或通过逼近方法是生成的曲线光滑(切变量连续)光顾

二、 插值理论

设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]上有互异点x0,x1,…,xn处取值y0,y1,…,yn 。如果函数φ(x)在点xi上满足φ(xi)=yi (i=0,1,2,…,n)，则称φ(x)是函数y=f(x)的插值函数，x0,x1,…,xn是插值节点。若此时φ(x)是代数多项式P(x)，则称P(x)为插值多项式。显然 f(x)≈φ(x)，x∈[a,b] 1. 拉格朗日插值

构造n次多项式Pn (x)= yk lk (x)=y0l0 (x)+y1l1 (x)+…+ynln (x)，这是不超过n次的多项式，其中基函数lk(x)= 显然lk (x)满足lk (xi)=

此时 Pn(x)≈f(x),误差Rn(x)=f(x)-Pn(x)= 其中 ∈(a,b)且依赖于x， =（x-x0）(x-x1)…(x-xn) 很显然，当n=1、插值节点只有两个xk,xk+1时 P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)

其中基函数lk(x)= lk+1(x)= 2. 牛顿插值

构造n次多项式Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+… +f(x0,x1,x2,…,xn)(x-x0)(x-x1)…(x-xn) 称为牛顿插值多项式，其中 (二个节点，一阶差商) (三个节点，二阶差商) (n+1个节点，n阶差商)

注意：由于插值多项式的唯一性，有时为了避免拉格朗日余项Rn(x)中n+1阶导数的运算，用牛顿插值公式Rn (x)=f(x)-Nn(x)=f(x,x0,…,xn)ωn+1(x), 其中ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)

3. 分段插值------子区间内，避免函数在某些区间失真 1） 线性插值

已知n+1个不同节点x0,x1,…,xn ,构造分段一次线性多项式P(x)，使之满足 l P(x)在[a,b]上连续 l P(xk)=yk

l P(x)在[xi,xi+1]上是线性函数，P(x)= 2） 两点带导数插值---避免尖点、一阶连续