奥数讲座一次不定方程

经验谈一次不定方程是一元一次方程的拓展，就是在一元一次方程这个最基础的平面上向上跨了一个台阶，它的解答需要将许多基础的知识进行扩展、综合，也就是要在把基础知识牢牢掌握的前提下进行的升华。思维在解题中得到锻炼，解题又使知识在思维中得到巩固。多多思考，多多练习对学习是大有裨益的。 内容综述：

我们曾在课堂上学过一元一次方程，例如解方程

，解这个方程可得

。

如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如

就是一个二元一次方程。显然这个方程有无数多组解。比如

等。这种未知数的个数多于方程的个数的方程

（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）。不定方程（组），顾名思义，就是方程（组）的解不确定，有的方程（组）有无数多组解，有的方程（组）没有解，有的方程（组）有限组解。我们经常关心这类方程（组）的整数解、正整数解或者有理数解。

本期主要研究整系数一次不定方程的整数解，下面若不加声明，方程的系数都是整数。

要点讲解：

§1、二元一次方程的整数解

例1 求方程

的整数解

解 若x,y为整数解，则方程左边为偶数，而右边是奇数，不能成立，所以方程无整数解。

由上例可以得到下面的定理

定理1 若二元一次不定方程

，a和b的最大公约数不能整除c，则方程没

有整数解。

由此，当a,b的最大公约数能够整除c时，可以用这个最大公约数去除方程两边，从而使x和y的系数的最大公约数为1，这样，为了解二元一次不定方程，只要考虑x,y的系数的最大公约数是1（即这两个系数互质）的情形就可以了，一般地，有

定理2 若整数a,b互素，则方程数解。若解。

★★例2 求方程

的整数解

是方程

有整数时，同时方程

是方程

也有整的一个整数

的一个整数解，则

解 设x,y是已知方程的整数解

由x,y之中较小的系数4去除各项得

把和中的整数分离出来，得

因为5-y和x都是整数，则把

代入已知方程得

也是整数，设

，k为整数，则，

所以

是方程的整数解，并且当k取遍所有整数时，就得到方程的所有整数解。

当k=0，得x=4,y=1，这是方程的一组解，而解的表达式中k的系数5与4，也是已知方程中y与x的系数。

一般地。有下面的规律。 定理3 如果a，b互素，且方程数解可表示为。

有一组整数解

，则此方程的所有整

这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明。 由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解。 ★★★例3 求方程

的正整数解。

①的一组整数

解 因3和5互素，所以原方程有整数解，首先观察出方程解。显然，

即x=2,y=-1是方程①的一组解。于是x=56,y=-28是已知方

程的一组解，故原方程的所有整数解为

为求正整数解，可以解不等式组

得 。

即k=-10,-11,此时原方程的正整数解为

说明 对于系数较大的不定方程，用观察法去求其特殊解比较困难，这时可以用分离整数法或辗转相除法求其特解。

★★★★例4 求方程的所有正整数解。

解 用x,y中较小的系数除方程各项得

分离整数为

①

②

因为x,y是整数，故也是整数，于是有。

再用较小的系数5除以方程各项，得

③

含

由观察和

（整数），由此得 ④

是方程④的一组解，将

代入③得y=2,y=2代入②得

x=25，于是方程①有一组解x=25,y=2，所以原方程的一切整数解为

由于要求方程的正整数解，所以

（t为整数）

解不等式，得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为

★★★★★例5 求方程

解 先利用辗转相除法求方程

的所有整数解。

的一组整数解。

， ①

②