简单几何体
一、考试说明要求： 1 2 3 内容 A 棱柱、棱锥、球的概念 棱柱、正棱锥、球的性质 球的表面积, 柱、锥、球的体积公式. 要求 B C √ √ √ 二、应知应会知识 1. (1)设M=｛正四棱柱｝，N=｛直四棱柱｝，P=｛长方体｝，Q=｛直平行六面体｝，则四个集合的关系为 ( B )
A. M
P
N
Q B.M
P
Q
N C.P
M
N
Q
D.P
M
Q
N
(2)设命题甲：“直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD?A1B1C1D1是正方体”，那么，甲是乙的 ( C ) A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 (3)条件M：四棱锥P－ABCD的四个侧面都是全等的等腰三角形，条件N：棱锥P－ABCD 是正四棱锥。则M是N的 ( D )
A. 充要条件 B. 既不充分又不必要条件 C. 充分而不必要条件 D. 必要而不充分条件 (4)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是 （ B ） ．．．
Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
(5)在三棱锥O?ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成的角的大小是 （ 用反三角函数表示）.
arctan2.
(6)若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为?,则cos?=______
6 3(7)过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条.6
(8)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点， 则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 .
4。 5(9)如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?1．若二面角
3C?AB?C1的大小为60?，则点C到平面ABC1的距离为_____．.
4(10)如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为1，高为8，
C一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为 10. ．．
考查棱柱、棱锥的概念和性质,以及棱柱、棱锥为载体考查计算能力,想象能力和逻辑推理能力.
要求理解棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体及正方体等有关概念，掌握棱柱的性质及长方体对角线性质;理解棱锥、正棱锥的意义，掌握棱锥、正棱锥的性质.
2. (1)底面边长为23，斜高为2的正三棱锥的体积等于 （ A ） A．3 B．9 C．6 D．23 (2)棱锥体积为1，过它的高的两个三等分点分别作平行于底面的截面，把棱锥截成三部分，则中间部分的体积是 （ C ） A．
1478 B． C． D． 392727(3)长方体的一条对角线与经过它的一端点的一个平面成30°角，与经过这个端点的另一
个平面成45°角，若这条对角线长为2，则这个长方体的体积为 （ D ）
A．6
B．5
C．2
D．2
FE(4)如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF?3，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积2ADCB为 ( D )
159 A． B．5 C．6 D．
22的表面积为T，则
A.
(5)已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH
1 9T等于 ( A ) S411 B. C. D.
943
(6)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体．．．体积的可能值有 ( D )
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）无穷多个 (7)已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。
? 3(8)长方体的表面积为32cm2，体积为8 cm2，长、宽、高成等比数列，则长方体所有棱之和为_____ _____．32cm
(9)已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积.
解法一：连结A1C1、B1D1交于O1，过O1作O1H⊥B1D于H，
∵EF∥A1C1，∴A1C1∥平面B1EDF.∴C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离.∵平面B1D1D⊥平面B1EDF，∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H为棱锥的高.
∵△B1O1H∽△B1DD1，∴O1H=
C1O1D1FHA1ECB1B1O1?DD16=a，
B1D61111 VC1?B1EDF=SB1EDF·O1H=··EF·B1D·O1H=·
3323D611·2a·3a·a=a3.
626解法二：连结EF，设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则
11h1+h2=B1D1=2a，∴VC1?B1EDF=VB1?C1EF+VD?C1EF=·S?C1EF·（h1+h2）= a3.
361解法三：VC1?B1EDF=V多面体A1B1E?D1C1FD－VE?A1B1C1D1－VE?C1D1D=a3.
6(10)如图，设三棱锥S—ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°,∠BAC=60°，且SA⊥BC.
（Ⅰ）求证：S—ABC为正三棱锥；
S（Ⅱ）已知SA=a，求S—ABC的全面积.
（Ⅰ）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可.作三棱锥S—ABC的高SO，O为垂足，连结AO并延长交BC于D.
COA因为SA⊥BC，所以AD⊥BC.又侧棱与底面所成的角都相等，从D而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC.又∠B BAC=60°，故△ABC为正三角形，且O为其中心.所以S－ABC为正三棱锥.
（Ⅱ）解：只要求出正三棱锥S—ABC的侧高SD与底面边长，则问题易于解决.31a，AO=a.因2233311AD=AO=a，BC=2BD=2ADcot60°=a，OD=AD=a.
224343113在Rt△SOD中，SD2=SO2＋OD2=（a）2＋（a）2=，则SD=
24163(313311于是，（SS－ABC）全=·（a）2sin60°＋3··a·a=
24222在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60°，所以SO=
O为重心，所以
B13a. 143?39)2
a.
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考查棱柱、棱锥的侧面积及体积的计算方法.要求会用棱柱、棱锥的侧面积及体积公式求棱柱、棱锥的侧面积及体积,会运用“分解与组合”（即“割补法”）、“等积变形”等方法，使问题化繁为简，化难为简，化未知为已知．
求体积常见方法有：①直接法（公式法）；②分割法；③补形法.
3. (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( C )
A. 1∶3 B. 1∶3 C. 1∶33 D. 1∶9
(2)过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是 ( A )
A．π B. 2π C. 3π D. 23?
(3)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
( C ) A．16? B．20? C．24? D．32?
(4)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 ( A )
A.
3939 B. C. D. 1616832
(5)已知正方体外接球的体积是
32?，那么正方体的棱长等于 ( D ) 3A. 22 B.
234342 C. D. 333(6)表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ( A )
A．22212? B．? C．? D．? 3333(7)已知球O的半径是1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是
??，B、C两点的球面距离是，则二面角B?OA?C的大小是 ( C ) 43???2?A. B. C. D.
4323(8)如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△
BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为 ( C )
A.
43? B. 276? C. 26?6? D. 824(9)如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F
分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是 ( B ) (A)
2???? (B) (C) (D)
4432(10)圆o1是以R为半径的球O的小圆，若圆o1的面积S1和球O的表面积S的比为
S1:S?2:9，则圆心o1到球心O的距离与球半径的比OO1:R?＿＿＿＿＿。1 ? 3
(11)已知A,B,C三点在球心为O，半径为R的球面上，AC?BC，且AB?R那么A,B两点的球面距离为_______________，球心到平面ABC的距离为______________.
P ?3R，
3R. 2(12)如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P?ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________． B 解：显然正六棱锥P?ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，
A C D E F
于是可求得底面边长为2，又正六棱锥P?ABCDEF的高依题意可得为2，依此可求得67
考查球的概念及性质.要求要求会用球的表面积、体积公式求球的表面积、体积,会解决一些球与柱、锥的组合的简单的几何体问题.