7-7-5.容斥原理之最值问题

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

教学目标

知识要点

一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AB?A?B?AB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．

1．先包含——A?B

重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A?B?AB

把多加了1次的重叠部分AB减去．

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A?B(意思是把A、B的一

切元素都“包含”进来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C?AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题

A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC．图示如下：

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图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．

1．先包含：A?B?C

重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A?B?C?AB?BC?AC

重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行A?B?C? AB?BC?AC计算时都被减掉了．

3．再包含：A?B?C?AB?BC?AC?ABC．

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。每个年级12道题，并且至少有

8道题与其他各年级都不同。如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次。本届活动至少要准备 道决赛试题。

【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4年级，决赛，第9题 【解析】 每个年级都有自己8道题目，然后可以三至五年级共用4道题目，六到八年级共用

4道题目，总共有8?6?4?2?56（道）题目。

【答案】56题

【例 2】 将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区

域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？

【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空

例题精讲

【解析】 越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小

依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：

13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.

【答案】240

【例 3】 如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染

成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?

【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 如下图，下图中“”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应

的线段都在“”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时

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显现的红色点最少，有1994×5-(2-1)×10=9960个．

【答案】9960

【例 4】 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那

么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？

【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 （法1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有27人，会骑

自行车的有33人，而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有27?33?48?12人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有12?40?48?4人.

该情况可以用线段图来构造和示意：

23|24总人数游泳自行车游泳0|115|1627|2827人33人40人48|48人

（法2）设三项运动都会的人有x人，只会两项的有y人，只会一项的有z人， 那么根据在统计中会n项运动的学生被统计n次的规律有以下等式：

?3x?2y?z?27?33?40? ?x?y?z?48

?x,y,z?0? 由第一条方程可得到z?100?3x?2y，将其代入第二条式子得到： 100?2x?y?48，即2x?y?52①

而第二条式子还能得到式子x?y?48，即2x?y?48?x② 联立①和②得到48?x?52，即x?4．可行情况构造同上． 【答案】4

【巩固】某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语

竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人．

【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 根据题意可知，该班参加竞赛的共有28?23?20?71人次．由于每人最多参加两

科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次．要求参加两科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而71?2?351，所以至多有35人参加两科，此时还有1人参加1科．

那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(28?22?20)?2?15人，参加语文、英语两科的共有28?15?13人，参加数学、英语两科的共有20?13?7人．也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加．检验可知符合题设条件．所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人．（当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）

【答案】35

234【巩固】60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动

345都会的人有22人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？

【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空

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