大学物理A习题答案 下载本文

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第1章 质点运动学

t?tr?ei?3ej?6k。(1)求:自t=0至t=1质点1-1 已知质点的运动方程为

的位移。(2)求质点的轨迹方程。

????????解:(1) r?0??i?3j?6k r?1??ei?3e-1j?6k ??3??? 质点的位移为?r??e?1?i???3?j

?e?(2) 由运动方程有x?et,y?3e?t, z?6 消t得 轨迹方程为 xy?3且z?6

1-2运动质点在某瞬时位于矢径r?x,y?的端点处,其速度的大小为 [ D ] drdr?dx??dy?dr(A) (B) (C) (D)?????

dtdtdtdtdt????221-3如图所示,堤岸距离湖面的竖直高度为h,有人用绳绕过岸边

的定滑轮拉湖中的小船向岸边运动。设人以匀速率v0收绳,绳不可伸长且湖水静止。求:小船在离岸边的距离为s时,小船的速率为多大?(忽略滑轮及船的大小)

解:如图所示,在直角坐标系xOy中,t时刻船离岸边的距离为

x?s,船的位置矢量可表示为

???r?xi???h?j

v0为 y???drdx?v??i?vi

dtdt其中

船的度

xr2x?r?h2h

1 sdxdv??所以 dtdt?r2?h2??dr

r2?h2dtr因绳子的长度随时间变短,所以

dr??v0 dt?v则 船的速度为??v0?s2?h2?i??v0i

sr2?h2r所以 船的速率为

v?s2?h2v0

s1-4已知质点的运动方程为r??Rcosωt?i??Rsinωt?j?5k(SI)。求:(1)质点在任意时刻的速度和加速度。(2)质点的轨迹方程。

解:(1)由速度的定义得

????drv???ωRsin?ωt?i?ωRcos?ωt?j

dt 由加速度的定义得

????dva???ω2Rcos??t?i?ω2Rsin?ωt?j

dt(2) 由运动方程有 x?Rcosωt,y?Rsinωt,z?5 消t得 质点的轨迹方程为 x2?y2?R2且z?5

1-5 一质点在平面上运动,已知质点的运动方程为r?5t2i?3t2j,则该质点所作运动为 [ B ]

(A) 匀速直线运动 (B) 匀变速直线运动 (C) 抛体运动 (D) 一般的曲线运动

1-6 一质点沿Ox 轴运动,坐标与时间之间的关系为x?3t3?2t(SI)。则质点在4s末的瞬时速度为 142m·s-1 ,瞬时加速度为 72m·s-2 ;1s末到4s末的位移为 183m ,平均速度为 61m·s-1 ,平均加速度为 45m·s-2。

2

d2xdx解题提示:瞬时速度计算v?,瞬时加速度计算a?2;位移为

dtdt?x?x?4??x?1?,平均速度为v?x?4??x?1?v?4??v?1?,平均加速度为 a?

4?14?11-7 已知质点沿Ox 轴作直线运动,其瞬时加速度的变化规律为ax?3tm?s?2。在t=0时,vx?0,x?10m。求:(1)质点在时刻t的速度。(2)

质点的运动方程。

解:(1) 由ax?dvx得 dtdvx?axdt

两边同时积分,并将初始条件t=0时,vx?0带入积分方程,有

?vx0dvx??axdt??3tdt

00tt3解得质点在时刻t的速度为 vx?t2

2(2) 由vx?dx得 dtdx?vxdt

两边同时积分,并将初始条件t=0时,x?10m带入积分方程,有

?x10dx??vxdt??0t32tdt 02t1解得质点的运动方程为 x?10?t3

2

1-8 一物体从空中由静止下落,已知物体下落的加速度与速率之间的关系为a?A?Bv(A,B为常数)。求:物体的速度和运动方程。

解:(1)设物体静止时的位置为坐标原点,向下为y轴正方向,则t=0时, v=0, y=0。

3

??dv由a?得

dtdv?adt??A?Bv?dt

整理得

1dv?dt A?Bv对方程两边同时积分,并将初始条件带入积分方程,有

?v0t1dv??dt

0A?Bv解得物体的速率为 v?A1?e?Bt ,方向竖直向下 B??(2)由v?dy得 dtdy?A1?e?Btdt B??对方程两边同时积分,并将初始条件带入积分方程,有

?y0dy??t0A1?e?Btdt B??解得物体的运动方程为 y?

AAt?2e?Bt?1 BB??1-9一质点作半径r=5m的圆周运动,其在自然坐标系中的运动方程为

s?2t?12t(SI),求:t为何值时,质点的切向加速度和法向加速度大小相等。 2解:由运动方程得

v?ds?2?t dtdv?1 dt4

质点的切向加速度为 at?

v2?2?t??质点的法向加速度为 an? r52当两者相等时,有

?2?t?25?1

解得时间t的值为 t?(5?2)s

1-10 质点做半径为1m的圆周运动,其角位置满足关系式θ?5?2t3(SI)。t=1s时,质点的切向加速度 12m·s-2 ,法向加速度 36m·s-2 ,总加速度 37.95m·s-2 。

解:由运动方程θ?5?2t3得 角速度为ω?dθdω?6t2s?1 , 角加速度为???12ts?2 dtdtt时刻,质点的切向加速度的大小为at??R?12t?1?12tm?s?2 质点的法向加速度的大小为an?ω2R?6t2?1?36t4m?s?2 质点的总加速度的大小为 a?at?an?将t=1s代入上面方程,即可得到上面的答案。

22??2?12t?2??36t4?2m?s?2

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