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第1章 质点运动学
t?tr?ei?3ej?6k。(1)求：自t=0至t=1质点1-1 已知质点的运动方程为
的位移。(2)求质点的轨迹方程。
????????解：(1) r?0??i?3j?6k r?1??ei?3e-1j?6k ??3??? 质点的位移为?r??e?1?i???3?j
?e?(2) 由运动方程有x?et，y?3e?t， z?6 消t得 轨迹方程为 xy?3且z?6
1-2运动质点在某瞬时位于矢径r?x,y?的端点处，其速度的大小为 [ D ] drdr?dx??dy?dr(A) (B) (C) (D)?????
dtdtdtdtdt????221-3如图所示，堤岸距离湖面的竖直高度为h，有人用绳绕过岸边
的定滑轮拉湖中的小船向岸边运动。设人以匀速率v0收绳，绳不可伸长且湖水静止。求：小船在离岸边的距离为s时，小船的速率为多大？(忽略滑轮及船的大小)
解：如图所示，在直角坐标系xOy中，t时刻船离岸边的距离为
x?s，船的位置矢量可表示为
???r?xi???h?j
速
v0为 y???drdx?v??i?vi
dtdt其中
船的度
xr2x?r?h2h
1 sdxdv??所以 dtdt?r2?h2??dr
r2?h2dtr因绳子的长度随时间变短，所以
dr??v0 dt?v则 船的速度为??v0?s2?h2?i??v0i
sr2?h2r所以 船的速率为
v?s2?h2v0
s1-4已知质点的运动方程为r??Rcosωt?i??Rsinωt?j?5k(SI)。求：(1)质点在任意时刻的速度和加速度。(2)质点的轨迹方程。
解：(1)由速度的定义得
????drv???ωRsin?ωt?i?ωRcos?ωt?j
dt 由加速度的定义得
????dva???ω2Rcos??t?i?ω2Rsin?ωt?j
dt(2) 由运动方程有 x?Rcosωt，y?Rsinωt，z?5 消t得 质点的轨迹方程为 x2?y2?R2且z?5
1-5 一质点在平面上运动，已知质点的运动方程为r?5t2i?3t2j，则该质点所作运动为 [ B ]
(A) 匀速直线运动 (B) 匀变速直线运动 (C) 抛体运动 (D) 一般的曲线运动
1-6 一质点沿Ox 轴运动，坐标与时间之间的关系为x?3t3?2t(SI)。则质点在4s末的瞬时速度为 142m·s-1 ，瞬时加速度为 72m·s-2 ；1s末到4s末的位移为 183m ，平均速度为 61m·s-1 ，平均加速度为 45m·s-2。
2
d2xdx解题提示：瞬时速度计算v?，瞬时加速度计算a?2；位移为
dtdt?x?x?4??x?1?，平均速度为v?x?4??x?1?v?4??v?1?，平均加速度为 a?
4?14?11-7 已知质点沿Ox 轴作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为ax?3tm?s?2。在t=0时，vx?0，x?10m。求：(1)质点在时刻t的速度。(2)
质点的运动方程。
解：(1) 由ax?dvx得 dtdvx?axdt
两边同时积分，并将初始条件t=0时，vx?0带入积分方程，有
?vx0dvx??axdt??3tdt
00tt3解得质点在时刻t的速度为 vx?t2
2(2) 由vx?dx得 dtdx?vxdt
两边同时积分，并将初始条件t=0时，x?10m带入积分方程，有
?x10dx??vxdt??0t32tdt 02t1解得质点的运动方程为 x?10?t3
2
1-8 一物体从空中由静止下落，已知物体下落的加速度与速率之间的关系为a?A?Bv(A,B为常数)。求：物体的速度和运动方程。
解：（1）设物体静止时的位置为坐标原点，向下为y轴正方向，则t=0时, v=0, y=0。
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??dv由a?得
dtdv?adt??A?Bv?dt
整理得
1dv?dt A?Bv对方程两边同时积分，并将初始条件带入积分方程，有
?v0t1dv??dt
0A?Bv解得物体的速率为 v?A1?e?Bt ，方向竖直向下 B??（2）由v?dy得 dtdy?A1?e?Btdt B??对方程两边同时积分，并将初始条件带入积分方程，有
?y0dy??t0A1?e?Btdt B??解得物体的运动方程为 y?
AAt?2e?Bt?1 BB??1-9一质点作半径r=5m的圆周运动，其在自然坐标系中的运动方程为
s?2t?12t(SI)，求：t为何值时，质点的切向加速度和法向加速度大小相等。 2解：由运动方程得
v?ds?2?t dtdv?1 dt4
质点的切向加速度为 at?
v2?2?t??质点的法向加速度为 an? r52当两者相等时，有
?2?t?25?1
解得时间t的值为 t?(5?2)s
1-10 质点做半径为1m的圆周运动，其角位置满足关系式θ?5?2t3(SI)。t=1s时，质点的切向加速度 12m·s-2 ，法向加速度 36m·s-2 ，总加速度 37.95m·s-2 。
解：由运动方程θ?5?2t3得 角速度为ω?dθdω?6t2s?1 ， 角加速度为???12ts?2 dtdtt时刻，质点的切向加速度的大小为at??R?12t?1?12tm?s?2 质点的法向加速度的大小为an?ω2R?6t2?1?36t4m?s?2 质点的总加速度的大小为 a?at?an?将t=1s代入上面方程，即可得到上面的答案。
22??2?12t?2??36t4?2m?s?2
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