2－1综合测试卷

一、选择题

1．设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：若?λ<0，使m＝λn，则两向量m，n反向，夹角是180°，那么m·n＝|m||n|cos 180°＝－|m||n|<0；若m·n<0，那么两向量的夹角为(90°，180°]，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m＝λn，所以是充分而不必要条件，故选A. 答案：A

2．下列判断正确的是( )

A．“若a2

1

B．函数f(x)＝x2＋9＋2的最小值为2

x＋9

C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题

D．命题“?x>0,2019x＋2019>0”的否定是：“?x0≤0,2019x0＋2019≤0”

解析：对于A选项，“若a2

x2＋9＋

1x2＋9

≥2

x2＋9·1x2＋9

＝2，当且仅当

x2＋9＝

1x2＋9

时，即当

x2＋9＝1时，等号成立，但x2＋9≥3，B选项中的命题错误；对于C选项，命题“若x＝

y，则sin x＝sin y”是真命题，其逆否命题也为真命题，C选项中的命题正确；对于D选项，由全称命题的否定可知，命题“?x>0,2019x＋2019>0”的否定是：“?x0>0,2019x0＋2019≤0”，D选项中的命题错误．故选C.

答案：C

3．命题p：?x0∈R，x－2>0，命题q：?x∈R，x

C．綈p∨q D. 綈p∧綈q

解析：命题p：?x0∈R，x0－2>0为真命题 命题綈p：?x∈R，x－2≤0为假命题 命题q：?x∈R，x

π1

x＋?为奇函数，则下列命4．设命题p：f(x)＝在定义域上为减函数；命题q：g(x)＝cos??2?x

题中真命题是( )

A．(綈p)∧q B. (綈p)∧(綈q)

C．p∧q D．p∧(綈q)

1

解析：f(x)＝在定义域上不是减函数，故命题p是假命题，

x

π

x＋?＝－sin x是奇函数，故命题q是真命题， g(x)＝cos??2?则(綈p)∧q为真命题，其余为假命题．

答案：A

x2y2

5．若双曲线2－2＝1(a>0，b<0)的一个焦点F到其一条渐近线的距离为3a，则双曲线

ab

的离心率为( )

A.2 B.3 C．2 D.5

解析：双曲线的一个焦点为F(c,0)，一条渐近线方程为bx－ay＝0，

|bc|b2

22

所以焦点到渐近线的方程为＝3a，整理得b＝3a，即2＝3

a22

b＋a所以e＝

b21＋2＝a

1＋3＝2

答案：C

6．已知向量a＝(1，x)，b＝(－2,4)，a∥(a－b)，则x＝( ) A．－2 B．－1 C．3 D. 1

解析：∵a－b＝(3，x－4)由a∥(a－b)得，1×(x－4)－3x＝0，解得x＝－2，故选A. 答案：A

x2y2

7．双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|

42

＝|PF|，则△PFO的面积为( )

3232A. B.

42

C．22 D．32

6

解析：由a＝2，b＝2，c＝a2＋b2＝6，∵|PO|＝|PF|，∴xP＝，

2

b

又P在C的一条渐近线上，不妨设为在y＝x上，

a

11332∴S△PFO＝|OF|·|yP|＝×6×＝，故选A.

2224

答案：A

8．已知a＝(2,3)，b＝(m，m－1)，c＝(m,3)，若a∥b，则b·c＝( ) A．－5 B．5 C．1 D．－1

解析：由于a∥b，故2(m－1)＝3m，解得m＝－2，于是b＝(－2，－3)，c＝(－2,3)， 所以b·c＝4－9＝－5.故选A. 答案：A

x2y2

9．若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则其离心率的值为( )

ab

A．2 B．22 2332C. D.

32

x2y2bb

解析：由于双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，而倾斜角为30°，故＝tan 30°

abaa

22

3b2c－a1c2423＝，因此2＝2＝，即2＝，则e＝，故选C. 3aa3a33答案：C

y2

10．若双曲线C：x－2＝1的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是( )

b

A．(1,2) B．(23，＋∞) C．(1，2) D．(22，＋∞)

y22

解析：∵双曲线C：x－2＝1，∴a2＝1，可得a＝1，c＝1＋b2，

b

2

∵双曲线

C：x2－

y2

＝1的离心率大于2，∴b2

1＋b2

>2，解之得b>3， 1

双曲线的虚轴长：2b>23，故选B. 答案：B

x2y2

11．已知O为坐标原点，点F1、F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A为椭圆C

43

上的一点，且AF2⊥F1F2，AF1与y轴交于点B，则|OB|的值为( )

33A. B. 2455C. D. 23

解析：如下图所示：

由AF2⊥F1F2可知： AF1∥OB且|AF2|为椭圆的半通径

∵O为F1F2中点，∴OB为△AF1F2的中位线，

1

∴|OB|＝|AF2|

2

b233

又|AF2|＝＝，∴|OB|＝，本题正确选项为B.

a24

答案：B

x2y2

12．如图，F1、F2分别是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，

ab

|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为( )

A.3－1 B.3 C．2 D. 3＋1

解析：连结AF1，∵F1F2是圆O的直径，∴∠F1AF2＝90°，即F1A⊥AF2， 又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，

1

∴∠AF2F1＝∠AF2B＝30°，

2

13

因此，Rt△F1AF2中，|F1F2|＝2c，|F1A|＝|F1F2|＝c，|F2A|＝|F1F2|＝3c.

22