三、解答题
17．已知a>0，设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，q：实数x满足|x－3|<1. (1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 解析：(1)由x2－4ax＋3a2>0得(x－a)(x－3a)<0，∴a 因为p是q的必要不充分条件，所以a≤2且4≤3a. 4? 所以实数a的取值范围为：??3，2?. 18．如图所示，四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，AB＝2，BE∥DF，且BE＝DF＝3，DF⊥平面ABCD. (1)求证：平面ABE⊥平面ABCD； (2)求平面AEF与平面ABE所成锐二面角的正弦值． 又BE?平面ABE，∴平面ABE⊥平面ABCD. 解析：(1)∵BE∥DF，DF⊥平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD， (2)设AC与BD的交点为O，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz， 则A(3，0,0)，B(0,1,0)，E(0,1，3)，F(0，－1，3)， →→→ ∴EF＝(0，－2,0)，AE＝(－3，1，3)，AB＝(－3，1,0) →?n1＝0?EF· 设平面AEF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则?， →?n1＝0?AE· ??－2y1＝0即?， －3x＋y＋3z＝0?111? 令x1＝1，则y1＝0，z1＝0，∴n1＝(1,0,1)． →?n2＝0?AE·设平面ABE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则?， →?n2＝0?AB· ??－3x2＋y2＋3z2＝0 即?， ?－3x2＋y2＝0? 令x2＝1，则y2＝3，z2＝0，∴n2＝(1，3，0)． n1·n212∴cos〈n1，n2〉＝＝＝， |n1|·|n2|2×2414 ∴sin〈n1，n2〉＝， 4∴平面AEF与平面ABE所成锐二面角的正弦值为 14. 4 19．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝22，BC＝42，PA＝4. (1)求证：AB⊥PC； (2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M－AC－D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由． 解析：(1)∵AD＝CD＝22，BC＝42，∴AB＝AC＝4，∴AB⊥AC ∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，∴AB⊥平面PAC，PC?平面PAC，∴AB⊥PC； (2)以A为原点，以过A平行于CD的直线为x轴， AD，AP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(22，22，0)，D(0,22，0)，C(22， →→ 22，0)，设PM＝λPD，0<λ<1，M(0,22λ，4－4λ)， →→ AM＝(0,22λ，4－4λ)，AC＝(22，22，0) →??AM＝0?m·?22λy1＋?4－4λ?z1＝0 设平面MAC的法向量m＝(x1，y1，z1)，则?，即? →?22x1＋22y1＝0??AC＝0?m· 2λ??→ 则m＝?1，－1，，又平面ACD的法向量为AP＝(0,0,4)， ?－2λ＋2?? ?→??AP·m→?∴|cos 〈AP，m〉|＝?＝?→ |m|???|AP|· ?4?? ?2λ??2＋???2－2λ?? 2 42λ2－2λ ＝cos 45° 2424?→?1024?解得：λ＝或λ＝2(舍)，M?0，，BM＝－22，，， 333?33??? 平面MAC的法向量为m＝(1，－1，2)，设BM与平面MAC所成角为θ，则 →?BM·m?421→ sin θ＝|cos 〈BM，m〉|＝?＝＝. ?2→ |m|?2×122?|BM|· 3 x2y22 20．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)过点(2，1)且离心率为. ab2 (1)求椭圆C的方程； →→ (2)是否存在过点P(0,3)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足PB＝2PA.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 21 解析：(1)由已知点代入椭圆方程得2＋2＝1 ab 2c2 由e＝得＝可转化为a2＝2b2，由以上两式解得a2＝4，b2＝2 2a2 x2y2 所以椭圆C的方程为：＋＝1. 42 (2)存在这样的直线． →→ 当l的斜率不存在时，显然不满足PB＝2PA， 所以设所求直线方程l：y＝kx＋3代入椭圆方程化简得： (1＋2k2)x2＋12kx＋14＝0 12k14 x1＋x2＝－① x.② 1x2＝ 1＋2k21＋2k2 7 Δ＝(12k)2－4×14×(1＋2k2)>0，k2>， 4 设所求直线与椭圆相交两点A(x1，y1)，B(x2，y2) →→ 由已知条件PB＝2PA可得x2＝2x1，③ 77 综合上述①②③式子可解得k2＝>符合题意， 2414 所以所求直线方程为：y＝±x＋3. 2 21．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，M点在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝6，AB＝4. (1)求证：M为PB的中点； (2)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 解析：(1)证明：如图，设AC∩BD＝O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点， 连接OM，∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC＝OM， BOBM ∴PD∥OM，则＝，即M为PB的中点； BDBP(2)解：取AD中点G，∵PA＝PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD. 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA＝PD＝6，AB＝4，得D(2,0,0)，A(－2,0,0)，P(0,0，2)，C(2,4,0)，B(－2,4,0)，M?－1，2， 2? ，2? ? →→ DP＝(－2,0，2)，DB＝(－4,4,0)． 设平面的一个法向量为m＝(x，y，z)， →??DP＝0?m·?－2x＋2z＝0 则由?，得?，取z＝2，得m＝(1,1，2)． →???－4x＋4y＝0DB＝0?m· 2→ CM＝?－3，－2，?， 2?? ∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为： ?→?CM·m??→ |cos〈CM，m〉|＝??＝?→ |m|???|CM|· ＝26 . 9 ??1? 9＋4＋×2 2? －4 x2y2622．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点?2，?. ab2?? (1)求椭圆C的方程； 3 (2)P，M，N是C上不同的三点，若直线PM与直线PN的斜率之积为－，证明：M，N 4 两点的横坐标之和为常数． x2y26 解析：(1)由题意椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点?2，?， ab2?? 322x2y2 所以c＝1，2＋2＝1，解得a＝2，b＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1 ab43 (2)设P，M，N三点坐标分别为(xP，yP)，(xM，yM)，(xN，yN)， 设直线PM，PN斜率分别为k1，k2，则直线PM方程为y－yP＝k1(x－xP)