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基本初等函数Ⅱ（三角函数）

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三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力 方法技巧：

1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的 2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正

3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取

4.求三角函数值域的常用方法：

求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：

（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域； （2）利用sinx,cosx的有界性求值域；

（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性

5. 三角函数的图象与性质

（一）列表综合三个三角函数y?sinx，y?cosx，y?tanx的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；

⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求y?Asin(?x??)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况； ．．．．．．．．．．．．．⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；

y?sinx的对称轴是x?k???2(k?Z)，对称中心是(k?,0)(k?Z)；

y?cosx的对称轴是x?k?(k?Z)，对称中心是(k??y?tanx的对称中心是(k?,0)(k?Z) 2?2,0)(k?Z)

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注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意??0.

（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数

y?Asin(?x??)的简图，并能由图象写出解析式．

⑴“五点法”作图的列表方式；

⑵求解析式y?Asin(?x??)时处相?的确定方法：代（最高、低）点法、公式x1??（三）正弦型函数y?Asin(?x??)的图象变换方法如下： 先平移后伸缩 y?s向左(?>0)或向右(??0)???????? ixn的图象平移?个单位长度横坐标伸长(01)到原来的(纵坐标不变)?. ?? 得y?sin(x??)的图象?????????1?? 得y?sin(?x??)的图象?????????为原来的A倍(横坐标不变)? 得y?Asin(?x??)的图象???????平移k个单位长度得y?Asin(x??)?k的图象． 先伸缩后平移

纵坐标伸长(A?1)或缩短(0?A?1)向上(k?0)或向下(k?0)纵坐标伸长(A?1)或缩短(0

平移?个单位?得y?Asin(?x??)?k的图象． 得y?Asinx(?x??)的图象???????平移k个单位长度

向上(k?0)或向下(k?0)【专题综合】

例1.已知tan??值.

2，求（1）

cos??sin?22；（2）sin??sin?.cos??2cos?的

cos??sin?sin?cos??sin?cos??1?tan??1?2??3?22； ?解：（1）

sin?1?tan?1?2cos??sin?1?cos?sin2??sin?cos??2cos2?22(2) sin??sin?cos??2cos?? 22sin??cos?1?学习必备 欢迎下载

sin2?sin???222?2?24?2?? ?cos?2cos?.

sin?2?13?1cos2?说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化

cosα)，x?a?(t2?3)b，例2.已知向量a?(2cosα，2sinα)，b=(?sinα， y??ka?b，且x?y?0，

(1)求函数k?f(t)的表达式；

(2)若t?[?1，3]，求f(t)的最大值与最小值

2解：(1)a?4，b?1，a?b?0，又x?y?0，

22222所以x?y?[a?(t?3)b]?(?ka?b)??ka?(t?3)b?[t?k(t?3)]a?b?0，

213313t?t，即k?f(t)?t3?t； 4444323(2)由(1)可得，令f(t)导数t??0，解得t??1，列表如下：

44所以k?

t －1 0 极大值 (－1，1) － 递减 1 0 极小值 (1，3) + 递增 f(t)导数 f(t) 而f(?1)?，f(1)??，f(3)?，所以f(t)max?，f(t)min??121292921 2说明：本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通。 例3. 平面直角坐标系有点P(1,cosx),Q(cosx,1),x?[?,] 44（1）求向量OP和OQ的夹角?的余弦用x表示的函数f(x)；

（2）求?的最值.

解：（1）?OP?OQ?OP?OQ?cosθ，

???cosx?cosx?(1?cos2x)cos? 2cosx?cos??1?cos2x 即 f(x)?2cosx??(??x?) 21?cosx44