1.2 充分条件和必要条件（1）

【教学目标】

1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义； 2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法； 3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识． 【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义； 【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断． 【教学过程】 一、复习回顾

1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．

2．四种命题及相互关系：

3．请判断下列命题的真假：

（1）若x?y,则x?y; （2）若x?y,则x?y; （3）若x?1,则x2?1; （4）若x?1,则x?1

二、讲授新课

1.推断符号“?”的含义：

一般地,如果“若p,则q”为真, 即如果p成立，那么q一定成立,记作:“p?q”; 如果“若p,则q”为假, 即如果p成立，那么q不一定成立,记作:“p??q”. 用推断符号“?和? ?”写出下列命题：⑴若a?b，则ac?bc；⑵若a?b，则a?c?b?c；2．充分条件与必要条件

一般地，如果p?q，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件． 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

由上述定义知“p?q”表示有p必有q，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有q就没有p,q是p成立的必不可少的条件,但有q未必一定有p.

充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它

符合上述的“若p则q”为真（即p?q）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．

必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即?q??p）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．

命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类： （1）充分必要条件（充要条件），即 p?q且q?p； （2）充分不必要条件，即p?q且q??p； （3）必要不充分条件，即p??q且q?p； （4）既不充分又不必要条件，即p??q且q??p． 3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义

（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设A,B为两个集合，集合A?B是指 “x?A”是“x?B”的充分条件，“x?B”是“ x?A”x?A?x?B。这就是说，

22222的必要条件。对于真命题“若p则q”，即p?q，若把p看做集合A，把q看做集合B，“p?q”相当于“A?B”。

（2）借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关A闭合”为条件A，“灯泡B亮” 为结论B，可用图1、图2来表示A是B的充分条件，A是B的必要条件。 A BB A C

C A 图2 图1 B C A B

图3 图4

（3）回答下列问题中的条件与结论之间的关系： ⑴若a?b，则a?c?b?c； ⑵若x?0，则x2?0；

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

三、例题

例1：指出下列命题中，p是q的什么条件．

⑴p：x?1?0，q：?x?1??x?2??0；

⑵p：两直线平行，q：内错角相等； ⑶p：a?b，q：a2?b2；

⑷p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形．

四、课堂练习

课本P8 练习1、2、3 五、课堂小结

1．充分条件的意义； 2．必要条件的意义． 六、课后作业：

1.2 充分条件和必要条件（2）

[教学目标]：

1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念； 2．掌握判断命题的条件的充要性的方法；

[教学重点、难点]：

理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断． [教学过程]： 一、复习回顾

一般地，如果已知p?q，那么我们就说p是q成立的充分条件，q是p的必要条件 ⑴“a?b?c”是“?a?b??b?c??c?a??0”的 充分不必要 条件．

⑵若a、b都是实数，从①ab?0；②a?b?0；③ab?0；④a?b?0；⑤a2?b2?0；⑥a2?b2?0中选出使a、b都不为0的充分条件是 ①②⑤ ． 二、例题分析

条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题． 1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性

例1：已知p：x?y??2；q：x、y不都是?1，p是q的什么条件？

分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性 从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性

“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是?1，则x?y??2”真的 “若q则p”的逆否命题是“若x?y??2，则x、y都是?1”假的 故p是q的充分不必要条件

注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手． 练习：已知p：x?2或x?方法一：?p:2；q：x?2或x??1，则?p是?q的什么条件？ 32?x?2 ?q:?1?x?2 3显然?p是?q的的充分不必要条件

方法二：要考虑?p是?q的什么条件，就是判断“若?p则?q”及“若?q则?p”的真假性

“若?p则?q”等价于“若q则p”真的 “若?q则?p”等价于“若p则q”假的 故?p是?q的的充分不必要条件

2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性

例2：若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？

分析：命题的充分必要性具有传递性M?N?P?Q 显然M是Q的充分不必要条件 3．充要性的求解是一种等价的转化

例3：求关于x的一元二次不等式ax2?1?ax于一切实数x都成立的充要条件 分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化 ?a?0?由题可知等价于a?0或?a?0?a?0或0?a?4?0?a?4

???0?4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么

例4：证明：对于x、y?R，xy?0是x2?y2?0的必要不充分条件．