试题解析： （1）由题意得

，∴

.

又因为，∴.

所以椭圆的方程为（2）由

得

.

.

设.所以，

依题意，因为所以

，易知，四边形

，

为平行四边形，所以，

.

.

即 ，

将其整理为 .

因为，所以，.

所以，即.

21．【2018届湖南省岳阳市一中高三上第一次月考】已知点P是直线l:y?x?2与椭圆

x22?y?1?a?1?的一个公共点， F1,F2分别为该椭圆的左右焦点，设PF1?PF2取得最2a小值时椭圆为C.

（1）求椭圆C的标准方程及离心率；

（2）已知A,B为椭圆C上关于y轴对称的两点， Q是椭圆C上异于A,B的任意一点，直线QA,QB分别与y轴交于点M?0,m?,N?0,n?，试判断mn是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.

x2?y2?1；【答案】(1) （2）1 . 3y?x?2试题解析：（1）联立{x2a2?y2?1 ，得?a2?1?x2?4a2x?3a2?0，

∵直线y?x?2与椭圆有公共点，

∴??16a4?4a2?1?3a2?0，解得a2?3，∴a?又由椭圆定义知PF1?PF2?2a， 故当a???3，

3时， PF1?PF2取得最小值，

x26?y2?1；离心率为此时椭圆C的方程为 ；

33

同理，得n?x0y1?x1y0，

x0?x1222x0y?x1y0x0y1?x1y0x0y1?x12y0∴mn?， ??2x0?x1x0?x1x0?x122x0x122?y0?1,?y12?1， 又332x0x122,y1?1?， ∴y?1?33202??x12?2?x0x?1???x1?1??23?3?x0?x12??∴mn??2?1， 2x0?x12x0?x1220∴mn为定值1.

22．【2018届河北省定州中学高三上第二次月考】已知

是椭圆

的左、

右焦点，点等腰直角三角形.

在椭圆上，为椭圆的离心率，且点为椭圆短半轴的上顶点，为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作不与坐标轴垂直的直线，设与圆

相交于

两点，与椭圆相

交于两点，当且时，求的面积的取值范围.

【答案】（1）（2）

试题解析：（Ⅰ）由是等腰直角三角形，得，

从而得到，故而椭圆经过，

代入椭圆方程得，解得，

所求的椭圆方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，

，由题意，设直线的方程为，

由得，

则

．

∵，∴，解得．

由消得．

设，

，，