F0?30.378,?*?17.41%，从而算出期权价值为1.637。

9. 因为在亚式期权中，越接近到期日，回报越确定，且保值比例?接近零。这使得应用标的资产进行保值相当容易。而障碍期权中，当资产价格接近障碍水平时，?却是不连续的，这给保值带来了困难。 10. 用最低价格M和现价S之比Y?t??M?t?S?t?来建立标的资产价格树图，如图9.4

所示。每个结点的损益结果是1?Y，树图显示期权价值为0.0818×1.6＝0.131个

单位的本币。

1.00000.08181.00000.06710.89940.10671.00000.04401.00000.00000.89940.08360.80890.17190.80890.19110.89940.10060.72750.2725

图9.4 第10题的树图

11.这是一个现金或无价值看涨期权，价值等于100e?0.08?0.5N?d2?，

d2?ln?4560???0.08?0.03?0.222??0.50.2?0.5??1.9282，N?d2??0.0269，从而期权

价值为2.59美元。

12. 该期权具有以下两个特征：（1）如果期权下跌超过10％，到期时支付

max?X?ST,0?，这等于一个向下敲入看跌期权；（2）如果期权下跌不到10％，

则到期时支付期权最初成本的20％，即支付现金，这等于一个向下敲出看涨期权。因此，这个期权的价值可以分解为：

f?S,t??f1?S,t;X,T;0.9S??f2?S,t;S?0.2f?S,t?,T,0.9S?

即一个以0.9S为障碍水平，执行价格为X的向下敲入看跌期权和一个以0.9S为障碍水平，执行价为S?0.2f?S,t?的向下敲出看涨期权之和。这两个期权都在T时刻到期。

十．习题：

1、 美国某公司拥有一个?系数为1.2、价值为1000万美元的投资组合，当时标准普尔500指数为270，请问该公司应如何应用标准普尔500指数期货为投资组合套期保值？

美国某公司打算用芝加哥商品交易所的期货合约为其德国马克头寸套期保值。假设美元和德国马克各种期限的利率均相等且不变并分别用r和rf表示，该公司保值时间为?，期货合约到期时间为T(T??)，请证明其最优保值比率为e(rf?r)(T??)2、

。

3、

4、 5、

假设现在是1月30日，你正管理一个价值600万美元的债券组合，该组合的平均久期为8.2年。9月份长期国债期货价格为108—15，交割最合算债券的久期为7.6年。请问你应如何规避今后7个月利率变动的风险。

某银行发现其资产负债不匹配，其存款为浮动利率，贷款为固定利率，请问应如何应用互换来抵消这种风险？

假设你管理一个价值6000万美元的投资组合，其?系数等于2.0，市

场无风险利率为5%，标准普尔500指数为300，该指数和该组合每年的股息收益率都是3%，请问为了防止该组合价值低于5,400万美元，应购买什么期权对它套期保值？

6、 某种不支付股息股票价格的年波动率为25%，市场无风险利率为10%，

请计算该股票6个月期处于平价状态的欧式看涨期权的Delta值。 7、 某金融机构刚出售一些七个月期的日元欧式看涨期权，假设现在日元

的汇率为1日元=0.80美分，期权的协议价格为0.81美分，美国和日本的无风险利率分别为8%和5%，日元的年波动率为15%，请计算该期权的Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho值，并解释其含义。 8、 某金融机构拥有如下柜台交易的英镑期权组合：

种类 头寸 期权的Delta 期权的Gamma 期权的Vega

看涨 ―1000 0.50 2.2 1.8

看涨 ―500 0.80 0.6 0.2

看跌 ―2000 ―0.40 1.3 0.7

看涨 ―500 0.70 1.8 1.4

现有一种可交易期权,其Delta值为0.6，Gamma值为1.5，Vega值为0.8，请问：?为使该组合处于Gamma和Delta中性状态，需要多少该可交易期权和英镑头寸？?为使该组合处于Vega和Delta中性状态，需要多少该可交易期权和英镑头寸？

9、

在上例中，假设有第二种可交易期权，其Delta值为0.1，Gamma值为0.5，Vega值为0.6，请问应如何使该组合处于Delta、Gamma和Vega中性状态？

习题答案：

1． 该公司应卖空的合约份数为：

1.2×10，000，000/(500×270)＝88.9?89份 2． 在?时刻，期货价格和现货价格的关系为:

(r?rf)(T??)F??S?e

假设保值比率为h, 则通过保值可以卖出的价格为：

h(F0?F?)?S??hF0?S??hS?e(r?rf)(T??)

如果h?e(rf?r)(T??)，则卖出的价格恒等于hF0, 这时保值组合的方差

是最优保值比率。

为0。也就证明了h?e(rf?r)(T??)3． 每份期货合约的价值为108.46875×1，000＝108，468.75美元。应该卖空的合约份

数为：

6,000,0008.2??59.7?60份

108,468.757.64． 该银行可以与其他金融机构签订一份它支付固定利率、接受浮动利率的利率互换协

议。

5． 当该投资组合的价值降到5400万美元时，你的资本损失为10％。考虑到你在1年

中得到了3％的现金红利，你的实际损失为7％。令E（RP）表示投资组合的预期收益率，E(RI)表示指数的预期收益率，根据资本资产定价模型有： E(RP）-rf=β[E(RI)- rf]

因此当E(RP）＝－7％时，E(RI)＝[E(RP)-rf]/ β+ rf=-1%。由于指数1年的红利收益率等于3％，因此指数本身的预期变动率为－4%。因此，当组合的价值降到5400万美元时，指数的预期值为0.96×300＝288。因此应购买协议价格等于288、期限1年的欧式看跌期权来保值。所需的欧式看跌期权的数量为： 2×60，000，000/(300×100)＝4000份

其中每份期权的规模为100美元乘以指数点。 6． 在本题中，S=X, r=0.1, σ=0.25, T-t=0.5, 因此，

ln(S/X)?(0.1?0.252/2)0.5d1??0.3712

0.250.5N(d1)=0.64。

该期权的Delta值为0.64。

7． 在本题中，S=0.80, X=0.81, r=0.08, rf=0.05, T-t=0.5833

ln(0.8/0.81)?(0.08?0.05?0.152/2)?0.5833d1??0.10160.150.5833d2?d1?0.150.5833??0.0130N(d1)?0.5405,N(d2)?0.4998 一份看涨期权的Delta值为：

e?rf(T?t)N(d1)?e?0.05?0.5833?0.5405?0.5250.

由于N?(d1)?1?d12/21?0.00516e?e?0.3969, 2?2? 因此，一份看涨期权的Gamma值为：

N?(d1)efS?T?t?r(T?t)?0.3969?0.9713?4.206.

0.80?0.15?0.5833 一份看涨期权的Vega值为：

ST?tN?(d1)e?rf(T?t)?0.800.5833?0.3969?0.9713?0.2355.

一份看涨期权的Theta值为：

SN?(d1)?ef?r(T?t)??rfSN(d1)ef?rXe?r(T?t)N(d2)2T?t0.8?0.3969?0.15?0.9713???0.05?0.8?0.5405?0.9713

20.5833?0.08?0.81?0.9544?0.4948??0.0399. 一份看涨期权的Rho值为：

?r(T?t)X(T?t)e?r(T?t)N(d2)?0.81?0.5833?0.9544?0.4948?0.2231.

8． 该组合的Delta值为：

-1000×0.50-500×0.80-2000×（-0.40）-500×0.70=-450

该组合的Gamma值为：

-1000×2.2-500×0.6-2000×1.3-500×1.8=-6000

该组合的Vega值为：

-1000×1.8-500×0.2-2000×0.7-500×1.4=-4000

（1）买进4000份该可交易期权就可得到Gamma中性组合，因为4000份该期权多头的Gamma值为4000×1.5=6000。买进期权后，整个组合的Delta值变为：

4000×0.6-450=1950。

为了使新组合同时处于Gamma和Delta中性，还得卖出1950英镑。

（2）买进5000份该可交易期权就可得到Vega中性组合，因为5000份该期权多头的Vega值为5000×0.8=4000。买进期权后，整个组合的Delta值变为：

5000×0.6-450=2550。

为了使新组合同时处于Gamma和Delta中性，还得卖出2550英镑。