?2(x1?1)??1??2???0?2(x?2)???????013?2???1(?x1?x2?2)?0 ??x?021???3x2?0????1,?2,?3?0作为K—T点，除满足上述条件，自然还应满足可行性条件

?x1?x2?2?0???x1?x2?1?0 ?x?0,x?02?1为使求解易于进行，从互补松紧条件入手讨论：

1° 设x1?0，x2?0，?1?0

由互补松紧条件知?3??2?0，由K—T条件知

2(x1?1)???0,x1?x2?2?0，故此解舍弃。

2° 设?1?0

2(x2?2)???0

再由可行性条件?x1?x2?1?0得到x1?1,x2?2,??0，但是显然不满足可行性

由互补松紧条件知x1?x2?2?0，再加上可行性条件?x1?x2?1?0知

13,x2?，从而由互补松紧条件知?2??3?0，将已知值代入易得?1=1，??0，2213T*易知这时K—T条件和可行性条件满足，因而X?(,)为K—T点。易见

2213T*且h1为线性函数，由定理3.1.12知X?(,)为f(x1,x2),gi(x1,x2)(i?1,2,3)为凸函数，

22x1?全局最优解。（?2f(x1,x2)??x?0?20??00?2?g(x,x)?正定，i12??00?半正定）

?02???3例5 用0.618法求解问题minf(x)?x?2x?1的近似最优解，已知f(x)的单峰区间为[0,3]，

要求最后区间精度??0.5。

解 a?0,b?3， x1?a?0.382(b?a)?1.146，f1?f(x1)?0.2131； x2?a?0.618(b?a)?1.1854，f2?f(x2)?3.6648； 因为 f1?f2，所以向左搜索，则

a?0,b?x2?1.854， x2?x1?1.146,f2?f1?0.2131；

x1?a?0.382(b?a)?0.708，f1?f(x1)??0.0611； 因为 f1?f2，所以向左搜索，则

f2?f1??0.061；1 a?0,b?x2?1.146， x2?x1?0.708,6 x1?a?0.382(b?a)?0.438，f1?f(x1)?0.208； 因为 f1?f2，所以向右搜索，则

,f1?f2??0.0611； a?0.438,b?x2?1.146，x1?x2?0.7086 x2?a?0.618(b?a)?0.876，f2?f(x2)??0.0798； 因为 f1?f2，所以向右搜索，则 a?0.708,b?x2?1.146，x1?x2?0.876,f1?f2??0.0798；

x2?a?0.618(b?a)?0.9787，f2?f(x2)??0.0199； 因为b?a?0.438?0.5??，所以算法停止，得到

x*?a?b0.708?1.146??0.927。 22?5?220minfx?x?2x??1例6 用FR共轭梯度法求解问题2，要求选取初始点x???,

?5???10?6。

解 ?f(x)????10???10??2x1?????g?d??g?，，000?????， ?20?204x????2???5?10??22 f(x0??d0)?f??5?20????(5?10?)?2(5?20?)，

???20???d51009 令f(x??d0)?1800??500?0，则?0?，于是x?x??0d0???；

d?18??5????9??40??400?T?????g1g120541819?，?，g1? 则g1??f(x)??，， ?0??d1??g1??0d0??T10020981?????g0g0?????81??9? f(x1??d1)? 令

400205020?2(1??)2?(?1?)， 819819?0?d9?，于是x2?x1??1d1??f(x1??d1)?0，则?1???； 0d?20???0?*2?0??x?x??g?0?? 则g2??f(x2)??，，故2?0??0??为所求。 ????例7 用外罚函数法求解：

22 minfx???x1?1??x2 s.tx2?1?0解 222Px,M?(x?1)?x?Mmin0,x?1??????122 ??22 ?x2?1?0?(x1?1)?x2,Px,M???即 ?222(x?1)?x?Mx?1,x2?1?0???22?1

?P 于是

?2(x1?1) ?x1

x2?1?2x2, ?P???x2?2x2?2M?x2?1?,x2?1

?P?P??0令

?x1?x2

M 得： x1?M??1x2?M??M?1 22M?1M????最优值： P?x,M???M??????M?1??M?1?M?1

?1?M当 ? ?? 时， x 1 ? M ? ? 1 , x 2 ? M ? ? 1 ， x ? M ? ? x * ? ? ? , P ? x , M ? ? f x * ?1?1?

例8 用内罚函数法求解：

??1(x1?1)3?x212 s.. tx1?1?0minx2?0解 定义障碍函数 P(x,rk)?111(x1?1)3?x2?rk(?)， 12x1?1x2 用解析法求minP(x,rk)， 令

?P(x,rk)1rk?(x1?1)2??0， ?x14(x1?1)2?P(x,rk)r?1?k?0， ?x2x22

解得：xrk?(x1,x2)T?(1?2rk,rk)T。 当rk?0时，xrk?x?(1,0)T，

故x?(1,0)T是原问题的最优解。 例9用内罚函数法求解：

2????minfx?x?1

s.tx?0

2解 定义障碍函数 P(x,rk)?(x?1)?rklnx，

用解析法求minP(x,rk)， 令

dP(x,rk)r?2(x?1)?k?0， dxx 解得：xrk??1?1?2rk。

2当rk?0时，xrk?x?0，故x?0是原问题的最优解。