暑假专题——二元一次方程组

【教学要求】

1. 熟练掌握二元一次方程的意义，二元一次方程组的定义及二元一次方程，二元一次方程组解的定义。

2. 熟练掌握二元一次方程组的解法。

3. 会运用二元一次方程组解决实际问题。 【教学过程】

二元一次方程组的知识是一元一次方程知识的深化和发展，是进一步学习数学必备的基础知识，此外，有很多工农业、国防科技和生活中的实际问题，也要用二元一次方程组来解决。因此，二元一次方程组是初中数学的重要内容之一，常见的题型有：填空题、选择题、列方程组解实际问题，以及综合题。随着素质教育、创新教育和新课标在全国各地的开展和深化，近年来对数学思想方法的考查越来越重视，“消元”的数学思想和“代入法”、“加减法”的数学方法将是今后考试命题的热点。 【典型例题】

（一）二元一次方程（组）的有关概念

例1. 下列方程中，二元一次方程是（ ） A. B. C. 答案：B 例2. 已知 A. 2 答案：A

是方程B.

C. 1

的解，那么k的值是（ ）

D.

D.

（二）构造二元一次方程组解题 例3. 已知 A. C.

B. D.

，则（ ）

分析：本题利用非负数的性质可构造二元一次方程组来求解，由非负数的性质可得：

答案：C 例4. 已知方程组

的解是

，则

____________。

，解得

分析：本题主要考查二元一次方程组的解的意义和二元一次方程组的解法。 将

代入

可得到关于a、b的二元一次方程组

1

依据整体思想，两方程相加，便得，即。

（三）二元一次方程组的解法

1. 二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。

这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。

解二元一次方程的一般方法在此就不举例说明了。 2. 灵活消元

（1）整体代入法 例5. 解方程组

解：原方程组可变形为 继续变形为 <2>代入<1>得：

解得：

方程组的解为

（2）先消常数法 例6. 解方程组

解：<1>×5－<2>得： <3>代入<1>得： 把代入<3>得： 所以原方程组的解为

（3）设参代入法 例7. 解方程组 解：由<2>得：

设

，则

把<3>代入<1>得：

2

解得： 把

代入<3>，得：

所以原方程组的解是

（4）换元法 例8. 解方程组 解：设 所以

，解得

，则原方程组可变形为

解这个方程组，得： 所以原方程组的解是

（5）简化系数法 例9. 解方程组 解：<1>＋<2>得： 所以

<1>－<2>得： 由<3>、<4>得：

（四）列二元一次方程组解决实际问题 例10. （2004年北京市中考题） 某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其捐助中学生和小学生人数的部分情况如下表：

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