不等式、数列、极限与数学归纳法

湖南省常德市一中 曹继元

不等式、数列是高中数学的主干知识，也是高考的重点内容之一，每年都有与此相关的大题。其中，选择题和填空题一般以考查基础知识、基本方法为主，而解答题以考查数学思想方法、思维能力、以及创新意识为主。总体看来，本节内容对运算能力和逻辑推理能力有较高的要求。预测今年高考关于这一部分的内容, 仍然是以考能力为主，稳中有变，“小”中有新。与往年一样，可能出现基本题型、 综合题型、 应用题型等，个别题型还将会命出新意，把不等式、数列知识和现实生活、市场经济、理化生知识等紧密结合起来，甚至还会出现有较新创意的应用型题目。因此，我们必须引起高度重视。b5E2RGbCAP 1.不等式.

1.1 近三年湖南省高考考查情况统计 客 观 年 题 代 题 号 2004年文科 总分 3主 观 题（不等式）试 题 321．已知曲线C1：y=x(x≥0)与曲线C2:y=－2x+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(0

（Ⅱ）证明第19题第（2）问．设，点P（，0）是函数 2005年理科 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线. （Ⅰ）用表示a，b，c； （Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围. 第20题第（3）问：自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼*群在第n年年初的总量，n∈N，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c. （Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2）， *第 4,8 都有xn＞0，n∈N，则捕捞强度b的 最大允许值 29是多少？证明你的结论. 题 分 第21题：已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； （Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N， 证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 第19题.已知函数. 2006年文科 第 1,13 题 （Ｉ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围. 第20 题第（2）问.在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数. （Ⅰ）求a4、a5，并写出an的表达式； 37分 2 / 23

（Ⅱ）令，证明： ，n=1,2,…. 第19题． 已知函数足: 证明 (Ⅰ) . 2006年理科 2006年理科 , , 数列 ; (Ⅱ) 满第20题．对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清 洗 前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 为, 要求清洗完后 的 第 清洁度为. 有两种方案可供选择, 1,8,12 方案甲: 一次清洗; 题 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水 等 43因素影响, 其质量变为. 设用单位 分 质 量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是 , 其中是该物体初次清洗后的清第 洁度. 1,8,12 (Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水题 量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初 次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

1.2 近三年考查情况分析

从近三年的高考湖南卷来看，虽然每年都有几道不等式的题，但大都是

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