查表，得P{??10}?0.95738．

4．假定每小时进入某商店的顾客服从??200的 Poisson分

布，而进来的顾客将购买商品的概率均为0.05，且各顾客是否购物相互独立，求在一小时中至少有6位顾客在此商店中购物的概率．

解：记每小时进入某商店的顾客数为?，则?服从??200的Poisson分布．

记每小时在商店中购物的顾客数为?，顾客购物概率为p．

以事件

???n?,n?1,2,3,?为分割，由全概率公式得，

对于非负整数k, 有

??P???k?=?P???n?P???k|??n?

n?0?? =

??k?kkn!e?Cnpkqn?

n?k?? =?(?q)n?ke??(?p)k n?k(n?k)!k! =1k!??p?ke??p

??kP???6???(?p)e??pPoisson分

k?6k!满足?1??p?10的布，

查表，得P???6??0.93214．

8．假定非负整值离散型分布的密度

?pk?满足条件

pk?p=

k?1k,k?1,其中常数?>0，试证明分布是以?为参数的Poisson分布．

解：

p1p2p····

pk0p·1p???·····?k?112k

=

?kk!

6

由此得：

pk??k??k!p?k0，并且?p0=1,可得p0=e??，故

k?0k!p?k??k?k!e．因此，此分布是以?为参数的Poisson分布．

2.4 重要的连续性分布

1．设

?服从区间

(0,5)上的均匀分布，求二次方程4x2?4?x???2?0有实根的概率．

解：由题意知，?的概率密度函数为

?p(x)??1?0?x?5 ?5?0其它若方程有实根，则??(4?)2?4?4?(??2)?0，

即?2???2?0， 解得，???1或??2．

则P{方程有实根}?P{???1}?P{??2}

?P{???1}?1?P{??2}

?0?1??215dx?305． 3．假定随机变量?只取区间

(0,1)中的值，且对任何

0?x?y?1，?落在子区间(x,y)内的概率仅与y?x有

关．求证?服从区间(0,1)上的均匀分布．

?0,x?(??,0]证法一：定义F(x)???P{0???x},x?(0,1]则

??1,x?(1,?)F(x)是?的分布函数．由题设得对任意2x?(0,1)有

P{0???x}?P{x???2x}，即有P{0???2x}?2P{0???x}．由此得F(2x)?2F(x)．逐一类推可得，若nx?(0,1)，则

F(nx)?nF(x)，或者

若

1xmF(x)?F()．从而对有理数nnn，4．设

?服从

N(3,分4布．(1)求

a使

m?m?mx与x都属于(0,1)，则有F?x??F(x)．再由n?n?nP???a??2P???a?;(2)求b使P???3?b??0.95．

解：由题意知，?（

?3，??2

1

）

F(x)的左连续性可得，对任意无理数a，若ax与x都属于(0,1)，则F(ax)?aF(x)．

因为区间(0,1)与[0,1]的长度相等，由题设得

P???a??1?P???a??1?P???a??2P???a?

得，3P即

???a??1 P???a???(1 33??1)?23， 即

F(1)?P{0???1}?P{0???1}?1.

由此及上段证明得，对任意x?(0,1)有

??32)?13 ，

1??(?(3??2)? 23?0.6664，解得a?2.14。

2

）

F(x)?xF(1)?x，即F(x)为 查表，得?(0.43)（

?0,x?0?F(x)??x,0?x?1

?1,x?1?∴ ?服从(0,1)上均匀分布．

证法二：如同证法一中定义?的分布函数F(x)，由F(x)单调知它对(0,1)上的L－测试几乎处处可微．设x1,x2当xiP???3?b??P?3?b???3?b???(

3?b?33?b)??(22bbbb??()??(?)?2?()?1?0.95，??()?0.975

2222查表，得?(1.96)?0.975，解得b?3.92。

2?(0,1)，5．在正常的考试中，学生的成绩应服从N(a,?)分布．若

??x?(0,1)(i?1,2)时，由题设得

规定分数在a??以上为“优秀”，a 至a??之间为“良好”，

F(x1??x)?F(x1)?P{x1???x1??x}

a??至a之间为 “一般”，a?2?至a??之间为“较差”，

．试求这五个等级的学生各占多大比例． a?2?以下为“最差”

解：记优秀，良好，一般，较差，最差分别为事件

?P{x2???x2??x}?F(x2??x)?F(x2)

等式两端都除以?x，再令?x?0可得，由F'(x1)存在可推得

A,B,C,D,E

记学生的成绩为?，则

a???aP(A)?P???a????1?P???a????1??()?1??(1)F'(x2)也存在，而且F'(x2)?F'(x1)．从而对任意x?(0,1)?a???aa?aP(B)?P?a???a?????()??()??(1)??(0)?有F'(x)?c．当x?(0,1)时，显然有F'(x)?0．一点的长??a?aa???aP(C)?P?a?????a???()??()??(0)??(?1)??(}?0．由上所述可知?度为0，由题设得P{??0}?P{??1??a???aa?2??aP(D)?P(a?2??a??)??()??()??(?1)??(?是连续型随机变量，F'(x)是其密度函数，从而定出c?1．至??a?2??aP(E)?P???a?2????（）=?（-2）=1-?（2）=1此得证?服从(0,1)均匀分布． ?

7

6．某人要开汽车从城南到城北火车站．如果穿行，则所需时间（单位：分钟）服从N(50,100)分布．如果绕行，则所需时间服从N(60,16)分布．假设现在他有：（1）65分钟可用；（2）70分钟可用，试分别计算是穿行还是绕行好些？

解：记?为到火车站所需时间

解：由已知得，

?1?2x?eP(x)??2?0?x?0其它

?x?2?F(x)??1?e??0x?0

其它（1）记检修时间为?，

(1). P1???65???(

65?50)??(1.5)?0.9332 1065?60P2???65???()??(1.25)?0.8944

4P(??2)?1?P(??2)?1?P(??2)?1?F(2)?e?1；

（2）由指数分布的无记忆性得，

因为0.9332?0.8944，所以穿行好些。

P{??5|??4}?P{??1}?1?P{??1}?e9．设?服从参数?为的指数分布，求??12。

(2). P3???70???(70?50)??(2)?0.9772 1070?60P4???70???()??(2.5)?0.9798

4?????1的分布．

因为0.9772?0.9798，所以绕行好。

7．已知随机变量?服从标准正态分布，而???e??x解：由已知得，P(x)???0视

x?0 其它??或???1?e??xF(x)???0x?0其它

|?|?1或|?|?1而定．试求?的分布．

P(??k)?P(????1?k)?P(????k?1)?P(k?1???k)?????解：由题意知 ?????????1，所以，

??1P(??k)P(??k?1)P(??2)?e??,?e??...?e??,P(?P(??k?1)P(??k?2)P(??1)?P(??y)?F?(y) ??1?F?(y)?P(??y)????1??P(???y)?P(???y)?1?P(???y)?1?F?(?y)???P(??k)?(e)k?1P(??1)?(e??)k?1(1?e??)

则?服从

2p?1?e??几何分布．

y?2.5多维概率分布 1?2?F?(y)?Pe??1??(y)?2???1． 甲从1，2，3，4中任取一数，乙再从1，… ? 中任取一整P?(y)?F?(y)???(?y)2?y211?22??(1?F(?y))?F(?y)?P(?y)?e?e??1????2?数?．试求（2??,?）的联合分布与边缘分布． ?

综上可知，?服从标准正态分布

8．假设一机器的检修时间（单位：小时）是以?解： ?可以取的值为1，2，3，4.那么?取每一个值的概率为

1，4?

1

为参数2

一但?取定值i，那么?只能从1，2，… 概率为

i中取值取每一个值的

的指数分布．试求：（1）检修时间超过2小时的概率；（2）若已经修理4个小时，求总共要少5个小时才会修理好的概率．

8

1．于是有： i1 4iP???i,??j??P???j??i?P???i??

所以（?,?）的联合分布与边缘分布如下：

?\\? 1 2 3 4 p?j 1 11114 8 12 251628 2 0 111138 12 16 48 3 0 0 11712 16 48 4 0 0 0 1116 16 p11111 i? 4 4 4 4

3 . 设(?,?)的联合密度函数为 p(x,y)?12sin(x?y), 0?x,y??2

试求： ( 1 ) (?,?)的联合分布函数; （ 2 ）?的边缘密度函

数．

解：由(?,?)的联合密度函数的定义域为0?x,y??2于是分下

列区域进行讨论：

当0?x,y??2时,

F(x,y)??x10?y02sin(s?t)dtds =?12?x0cos(s?t)|y0ds

=?12?x0[cos(s?y)?cos(s)]ds

=?1xx2[sin(s?y)|0?sins|0]

= 12[sinx?siny?sin(x?y)]

当x,y??2时，F(x,y)?1

当0?x??2,y??2时,

F(x,y)??x?210?02sin(s?t)dtds 9

=?12?x0[cos(s??2)?coss]ds

=12[sinx?1?sin(x??2)] = 12(sinx?cosx?1) 当0?y??2,x??2时,

?F(x,y)??2y10?02sin(s?t)dtds ? =?12?20[cos(s?y)?cos(s)]ds

=

1?2[1?siny?sin(y?2)] =12(siny?cosy?1)

其他区域F(x,y)?0

??1[sinx?siny?sin(x?y)]，0?x,y???2?1F(x,y)??2(sinx?cosx?1)，0?x??2?2,y?2?1?(siny?cosy?1)，0?y??,??22x?2??1，x,y??0，2?其它

(2) ?的边缘密度函数为：

p???(y)????p(x,y)dx

?=

?2102sin(x?y)dx =

12(cosy?sinx)， 0?y??2 5. 设分布函数

F1(x)与F2(x)对应的密度函数为p1(x)与

p2(x)．证明对于任何??(?1,1)有

p?(x,y)?p1(x)p2(y){1??{2F1(x)?1][2F2(y)?1]}

是二维密度函数，且以p1(x)与p2(y)为其边缘密度函数． 证明：从定义出发进行证明：

p?(x)??p?(x,y)dy

????

? p1(x)与p2(y)?0,且F1(x),F2(x)是分布函数 ?F1(x),F2(x)?[0,1]

?2F1(x)?1,2F2(y)?1?[?1,1]．

又?

??p1(x)p2(y){1??[2F1(x)?1][2F2(y)?2]}dy

????

?p1(x)?{1??[2F1(x)?1][2F2(y)?1]}dF2(y)

??????(?1,1)

2?p1(x){F2(y)|????[2F(x)?1][F(y)?F1(y)]??12

??1??[2F1(x)?1][2F2(y)?1]?1 ?1??[2F1(x)?1][2F2(y)?1]?0

?p1(x)p2(y){1??[2F1(x)?1][2F2(y)?1]}?0

即

?p1(x){1??[2F1(x)?1](1?1)}

?p1(x)

同理有?的边缘密度函数为即证得：

p2(y)

p?(x,y)?0，非负性得证． (?,?)是以p1(x)与p2(y)为其边缘密度函数的．

???????????????p?(x,y)dxdy

????16、证：我们有

0?Fi(xi)?1,1?2fi(xi)?1?2?1?1,

??p2(y)dy?p1(x)[1??[2F1(x)?1][2F2(y)?1]dx

?1?[2F1(x1)?1][2F2(x2)?1][2F3(x3)?1]?1,

代

入

??p2(y)dy?1??[2F1(x)?1][2F2(y)?1]dF1(x)????????f?(x1,x2,x3)的表达式得

?2????p2(y){F1(x)|?????[2F2(y)?1](F1(x)|??????f?(x1,x2,x3)?0 (1)

??F1(x)|???)}dy又有

??p2(y){1??{2F2(y)?1](1?1)dy

????????2Fi(xi)?1?fi(xi)dxi?????2Fi(xi)?1?dFi(xi)?F12(xi)?Fi(xi)????p2(y)dy

??????????0

?1

规范性得证．

????f?(x1,x2,x3)dx1dx2dx3?对于任

????何的

??(?1,1)有

?????f1(x1)dx1????f2(x2)dx2????f3(x3)dx3?1

(2)

由（1），（2）知f?(x1,x2,x3)是密度函数．用与上面类似的方法计算可得边际密度函数为

p?(x,y)?0,?维密度函数.

?????p?(x,y)dxdy?1所以p?(x,y)是二

下面讨论二维密度函数

p?(x,y)中??的边缘分布：

????f?(x1,x2,x3)dx2dx3?f1(x1),

（1）?的边缘密度函数为：

???f?(x,x,x)dxdx12311232?f3(x3)

3???f?(x,x,x)dxdx1?f2(x2).

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