6. 设(?,?)的联合密度函数为 当1?m?n时

P{?1?m,?2?n}?P{??m,??n?m}?P{??m}P{??n

p(x,y)?cxy2,0?x?2,0?y?1.

试求： （1）常数

c；（2）：?,?至少有一个小于12的概率.

解： 由联合密度函数的规范性知：

?210?0cxy2dydx?1

即

?2cx03dx?1 ?2c3?1

解得c?32．

??(?,?)的联合密度函数为

p(x,y)?32xy2 （2）?,?至少有一个小于12的概率p为：

p?P{??12}?P{??12}?P{??112,??2}

1111??2130?xy2dydx??2?23xy2dxdy??2?230xy22002002dxxy

1111??2x2y3|1234y2x2|2300dx??0dy??22004y2x2|0dy

?23128 7. 在可列重伯努利试验中，以?i表示第i成功的等待时间，试求

(?1,?2)的：

1）

联合分布; (2) 边缘分布.

（注：?1表示第一次成功的等待时间，?2表示第二次成功的等待时间，???1??2表示第一次成功到第二次成功的等待时间．根

据无记忆性，?服从几何分布，即忘记了第一次成功的信息．）根据题目要求，本题解答如下 解：(1)设一次试验中成功的概率为

p 失败的概率为q；

因为?1,?2服从几何分布具有无记忆性所以：

11

?qm?1pqn?m?1p?qn?2p2

(2)边缘分布

a. ?1的边缘分布：

根据边缘分布的定义当?1取值为m时的边缘分布．即让?2遍历所有可能的值m?1,m?2,?n于是有：

P{?m?11?m}?qp2?qmp2???qn?2p2

?i??n?2qip2?pqm?1

m?1即?1的边缘分布为

pm.?pqm?1(1?m)

b. ?2的边缘分布：

当第二次成功出现在第

n次时 ，即让?1遍历可能的值

1,2,3,?n?1．而?1取每一个值的概率均为 qn?2p2，于是有P{?2?n}?(n?1)qn?2p2

即?22的边缘分布为：

p.n?(n?1)qn?2p,n?2

8．设(?,?)服从区域D?{(x,y):0?x2?y?x?1}上的

均匀分布．试求： (1) ?的边缘分布；

（2）P{??12} 解

：

（

1

）

因

为

(?,?)服

从

区

域

{

D?{(x,y):0?x2?y?x?1}上的均匀分布，所以有

?1p(x,y)???,(x,y)?D

?m(D)?0,其它并且有m(D)?0?x2??dxdy??1(x?x21?y?x?10)dx?2?13?16 ?当(x,y)?D时p(x,y)?6．于是有?的边缘分布为

：

p?(x)??p(x,y)dy??6dy?6(x2?x)??x??x2

x?(0,1)

（

2

）

法

（

1

）

：

当

???2?1?1?r?2(1?r2)???1?ed? 2???02??1?2S??22???时，

P{(?,?)?D(?)}?1．

，由此得

11y117P{??}??1p?(y)dy??1?6dxdy??16(y?y)dy??2y2??1?2242?1222d???0S21?r2

法（2）： 而

111P{??}?1?P{??}?1?F()

222210. 设随机向量有联合密度函数

p(x,y,z)?xze?(x?xy?z), x,y,z?0

113F()??26(x?x2)dx??126(?x2)dx?2?

02242所以P(?1 (1).?的一维边缘密度；（2）?的一维边缘密度（3）(?,?)的二维边缘密度 解：（1）

137?)?1?2???2 244?的一维边缘密度即把yz看作常量得到：

p?(x)????0?x9. （选学） 设（?,?）为二维正态随机向量，求落入区域

???0??xze?(x?xy?z)dydz ze?zD=

{(x,y)2:

(x?a)2?22-

2r(x?a1)(y?a2)??12?+

?xe?0???0e?xydy

(y?a2)?e?x?ze?zdz

0???e?x(ze?z?e?z)|0

???22

??}内的概率．

?e?x

解：作变换，令x?a椭圆区域为

22rsin?cos?sin2??2?cos?2 ??2?????2???2?12??1则|J|????cos?,y?b??sin?，

即得?的一维边缘密

p?(x)?e?x．

??（2）?的一维边缘密度，把x,z看作常量．即

p?(y)??0??0?0xze?(x?xy?z)dxdz

记

cos?2?21?2rsin?cos??1?2?sin?2?22?s2

??xe???(x?xy)???0ze?zdzdx

则???/s，且

12??1?21?r2?1??e?(x?xy)|0 2(1?y)1(1?y)2

P{(?,?)?D(?)}?

??2x0?d??es0?12(1?r)2?2S2?d??y?0

即??的一维边缘密度:

?

12??1?21?r2??2x0(1?r2)?2(1?r2)??eS2S2p?(y)?2S1(1?y)2

（3）(?,?)的二维边缘密度此时z为常量．

0d?12

有：

p??xze?(x?xy?z)dy

0??

xze?(x?z)?x???0e?(xy)dxy

?24y(1?x?y)?2(1?x?y),0?x?1?y,0????12y(1?y)2??(1?y)2??0,其它0,??

?ze?(x?z) (x?0,z?0) （1）所以，??

即(?,?)的二维边缘密度2.6 随机变量的独立性

4．设随机变量(?,?)的联合密度函数为

1

条件下?的条件密度为 2

p??(x,y)?ze?(x?z)

1p(,y)1p?|?(y|)?212p?()21?6y(1??y)?12,0?y????132(1?)?2?0,其它?p(x,y)?24y(1?x?y)，x,y?0且x?y?1，

11

试求（1）??条件下?的条件密度；（2）??条件下?的

22

条件密度。 解：据题意知，

（2）?1??24y(1?2y),0?y???2； ?0,其它?1

条件下?的条件密度为 2?,?的边缘概率密度函数分别为

1p(x,)1?x12????24y(1?x?y)dy,0?x?1p?|?(x|)?p?(x)??p(x,y)dy??012??p()??0,其它?2?

?4(1?x)3,0?x?1， ??其它?0,1?y???24y(1?x?y)dx,0?y?1p?(y)??p(x,y)dx??0???0,其它??1?2(1?x?)?1?12,0?x???4(1?2x),0?x???122??2(1?)??其它?0,2?0,其它?。

5．设(?,?)是连续型随机变量，?有密度函数

?12y(y?1)2,0?y?1， ??0,其它?故当0?x?1时，

p(x,y)p?(x)

p1(x)??2xe??x，x?0

而?服从区间(0,?)上的均匀分布，试求?的密度函数。 解：据题意知，

p?|?(y|x)?

当0??24y(1?x?y)?6y(1?x?y),0?y?1?x,0?y?1?x????4(1?x)3??(1?x)3?1?,0?y?x??p(y|x)?0,其它0,其它 ?x???|??其它?0,由于

y?1时，

p(x,y)p?(y)p?|?(y|x)?p(x,y)，故

p?(x)p?|?(x|y)?13

?12??x???xe,0?y?xp(x,y)?p?|?(y|x)p?(x)??x?0,其它?y2???8xydx,0?y?1?4y,p?(y)??p(x,y)dx??0?????其它?0,?0,?， 因为

??2e??x,0?y?x， ??0,其它?所以，?的密度函数为

?????2e??xdx,y?0p?(y)??p(x,y)dx??y???0,其它??p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立．

7.设随机向量(?,?)的联合密度函数

??e??y,y?0。 ??0,其它?6．设随机变量(?,?)的联合密度函数为

?1?xy?,|x|?1,|y|?1p(x,y)??4，

?其它?0,试证?与?不独立，但?与?是相互独立的．

证：当|22x|?1时，

????4xy,0?x,y?1（1）p(x,y)??；

0,其它?（2）

p?(x)??p(x,y)dy??1?xy1dy?，其余

?1421p?(x)?0．

同理当|当

?8xy,0?x?y?1， p(x,y)??其它?0,y|?1时，p?(y)?1/2其余p?(x)?0，

试问?与?是否相互独立？为什么？

解：（1）?的边缘概率密度函数为

?0?|x|?1,0?y?1时有

p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立．

1???4xydy,0?x?1?2x,0?x?1现试用分布函数来证?2与?2独立．?2的分布函数记为

p?(x)??p(x,y)dy??0????其它?其它?0,?0,F1(x)，则当0?x?1时，

，

同理，?的边缘概率密度函数为

，

F1(x)?P{?2?x}?P{?x???x}???1??2y,0?y?1?4xydx,0?y?1?p?(y)??p(x,y)dx???0??；

??0,其它?其它??0,2同理可求得?的分布函数F2(y)，得

p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?独立．

xx1dx?x2因为

（2）?的边缘概率密度函数为

?x?0?0,?F1(x)??x,0?x?1?1,x?1,?y?0?0,?F2(y)??y,0?y?1?1,y?1,?1 2???8xydy,0?x?1?4x(1?x),0?x?1p?(x)??p(x,y)dy??x??22??(?,?)联合分布函数记为F3(x,y)，则当0,其它?其它??0,，

同理，?的边缘概率密度函数为

0?x?1,y?1时

F3(x,y)?P{?2?x,?2?y}?P{?2?x}?x

14

同理得当0?y?1,x?1时，F3(x,y)?y；当

同理可证 P{??P{??1,???1}?P{??1}P{???1}?10?x?1,0?y?1时

??1,??1}?P{???1}P{??1}，

F3(x,y)?P{?2?x,?2?y}?P{?x???x,?y???y}P{???1,???1}?P{???1}P{???1}.

=

?x?xds?y?1?stdt?xy

y4所以?与?相互独立．用同样的方法可证?与?也相互独

立．但

合起来写得

?0,?x,??F2(x,y)??y,?xy,???1,x?0或y?00?x?1,y?10?y?1,x?1 0?x?1,0?y?1x?1,y?1?F1(x)F2(y)对所有x,y都成立，所

P{??1,??1,??1}?P({??1,??1}?[{??1,??1}?{?

?P{??1,??1}?P{??1}P{??1}?而P{?1， 4?1}P{??1}P{??1}?不难验证F3(x,y)以?与?独立．

221， 8所以，?,?,?只两两独立而不相互独立． 2.7 随机变量函数的分布

1．设?与?相互独立，同服从参数为（1）?8．若?,?相互独立，都服从?1与1这两点上的等可能分布，令?p的几何分布，试求：

???，试证?,?,?证：由题设得

两两独立但整体不独立．

（2）???的分布． ??的分布；

解：据题意知，?与?的概率分布分别为

P{??1}?P({??1,??1}?(???1,???1})

P{??i}?qi?1p,i?1,2,?

?P{??1,??1}?P{???1,???1}?，

11111????22222（1）

P{??j}?qj?1p,j?1,2,?

P{???1}?P({??1,???1}?(???1,??1})

P{????k}??P{??i,??k?i}??P{??i}P{??k?i?1i?111111?P{??1,???1}?P{???1,??1}?????22 222

k?1k?1．

k?1k?1P{??1,??1}?P({??1}?[{??1,??1}?(???1,???1}])i?1k?i?1??qpqp??qk?2p2?(k?1)qk?2p2，

i?1i?112{,?? 1?P{??1,??1}?P{??1}P{??1}?k??1,P?}P{??1}4，

????，所以

P{??1,???1}?P({??1}?[{??1,???1}?(???1,??1}])(2)令?

{??k}??{??i,??k}??{??k,??j}

i?1j?1k?1k15