P{??k}??P{??i,??k}??P{??k,??j}i?1j?1k?1k?P{?1?k}P{?2?n?k}
P{?1??2?n}?k?1??pq2i?1k?11?k?2??pq2j?1kk?j?2
k!e??1??k?n2(n?k)!ke??2?(?1??2n!n?k?pq (k2k?1?1?qk?11?qk?k?1kk?1??(2?q?q)pq??1?q??1?q，k
?1,2,?)
?0,1,2,?,n
?1,2，?i服从参数
?n???1???k????????1??2??????2?????2?1????2.假定随机变量?1与?2相互独立，对i为?i的Poisson分布，试求：
3.设随机向量(?,?)有联合分布如下表：
? （1）?1-1 0 1 2 pi? 5/16 5/16 6/16 1 ??2的分布；
??2?n时?1的条件分布．
? 1 2 3 2/16 0 2/16 4/16 0 3/16 0 3/16 2/16 0 1/16 3/16 1/16 2/16 3/16 6/16 （2）已知?1解：（1）由卷积公式及独立性得
P{?1??2?k}??P{?1?i,?2?k?i}i?0kp?j 试求：（1）???P{?1?i}P{?2?k?i}
i?0k2（2）???的概率分布；（3）???的概率分布；
的概率分布．
??i?0k?i1i!e??1?e??2(k?i)!?k?12解：（1）???的全部可能取值为0，1，2，3，4，5
P{????0}?P{??1,???1}?2/16，
P{????1}?P{??1,??0}?P{??2,???1}?0?0?0，
1?(?1??2)kk!ik?1?e?1?2 ?k!i!(k?1)!i?0(?1??2)k?(?1??2)?e
k!P{????2}?P{??1,??1}?P{??2,??0}?P{??3,?
k?0,1,2,?
即?1?2/16?3/16?2/16?7/16，
P{????3}?P{??1,??2}?P{??2,??1}?P{??3,?
??2具有普阿松分布，且参数为?1??2 ?k|?1??2?n}?P{?1?k,?1??2?n}
P{?1??2?n}（2）P{?1?1/16?0?0?1/16，
P{????4}?P{??2,??2}?P{??3,??1}?2/16?1/1，
P{?1?k,?2?n?k}?P{?1??2?n}P{????5}?P{??3,??2}?3/16．
16
所以，???的概率分布为
的密度函数．
2 3 4 5 解：据题意知，?的概率密度函数为
??? pk (2) ?0 2/16 7/16 1/16 3/16 3/16 p(x)?（1）令?12?e?x22，???x??
??的全部可能取值为1，2，3
?e?，则e?的分布函数为
P{????1}?P{??1,???1}?P{??1,??0}?P{??1,??1}
F?(y)?P{??y}?P{e??y}
?2/16?0?2/16?4/16
当
y?0时，{e??y}??，则F?(y)?0；
当y??00P{????2}?P{??1,??2}?P{??2,???1}?P{??2,?}时，?P{??2,??1}
，
F?(y)?P{e??y}?P{??lny}?F?(lny)
?P{??2,??2}?1/16?0?3/16?0?2/16?6/16?所以，e的密度函数为
y?0y?0?P{????3}?P{??3,???1}?P{??3,??0}?P{??3,??1}?P{??3,??20},?p?(y)?F?(y)??[F?(lny)]?,?
?2/16?0?1/16?3/16?6/16
所以，???的概率分布为
??? pk 21 2 3 0,??1??p?(lny)?,?y?y?0y?0
4/16 6/16 6/16 (3) ?的全部可能取值为0，1，4
0,?2???1?(ln2y)1?,?2?ey?0,??(lny)2???12e,?y2??（2）令?y?0y?0y?0y?01
P{?2?0}?P{??0}?3/16，
P{?2?1}?P{???1}?P{??1}?4/16?3/16?7/16，
?1?2，则
?2的分布函数为
P{?2?4}?P{??2}?6/16．
所以，?的概率分布为
2F?(y)?P{??y}?P{0 1 4 当
3/16 7/16 6/16 当
12??y}
?2 pk 1y?0时，{2?y}??，则F?(y)?0；
?y?0时，
4.设?服从标准正态分布，试求：(1)e的密度函数；（2）?1?217
F?(y)?P{1?2?y}?P{???1y}?P{??1y}?F?(?1y
所以，
n??p?(y)?F??(y)???jexp??y??j?
j?1?j?1?n1?2的密度函数为
即??min(?1,?2,?,?n)的密度函数为
0,??p?(y)?F??(y)??[F(?1)?1?F(1)]?,???yy?y?0y?0
0,??n??p?(y)??n???exp?y?j??j?,??j?1???j?16.设随机变量?有密度函数函数：（1）?y?0y?0
0,y?0?33?111?2??1?2yp?(?)?p?()?(?y),y?0?22yy?
试求下列随机变量的分布p(x)，
???1，这里P{??0}?0；（2）??tg?；（3）
0,y?0?3?11 ??1?2y[p?(?)?p?()],y?0?2yy???|?|．
解（：1）由P{?当y?0?0}?0知，?以概率1取有限值．
0,?12?(?)(??1?31?y1?22e?e?y[22?2??0,?1????12ye,?2?y3?y?0y?0．
y?01y2)2时，
],y?00??1?1?F?(y)?P{??y}?P??y??P{??0}?P????????y?????；
当
y?0时，
5.若?1,?2,?,?n相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为?1,?2,?,?n，试求?解：当
0?1??1?F?(y)?P??y??P????0???1p(x)dx；
????y?y?min(?1,?2,?,?n)的分布．
当
y?0时，
y?0时由独立性得
故?的分布函数为
F?(y)??0??p(x)dx．
1?F?(y)?P{??y}?P{?1?y,?2?y,?,?n?y}
?0p(x)dx??p(x)dx,?1y?????0nnnn?F(y)?p(x)dx,??????P{?1?y}??(1?F?i(y))??(e??iy)?exp(?y???)?i0i?1i?1i?1i?11p(x)dx,???y?（2）
y?0y?0． y?0n???F?(y)?1?exp??y??i?
i?1??F?(y)?P{tg??y}当时
y?0时F?(y)?0．求导得?的密度函数为，当y?0p?(y)?0；当y?0时
???? ??P?{k?????k??arctgy})???2?k?????k???????k?2?k??arctgyp(x)dx
18
（3）当
y?0时，F?(y)?0；当y?0时，
F?(y)?P?|?|?y??P??y???y???y?yp(x)dx0?y?1?y,?p?(y)??2?y,1?y?2。
?0,其它?．
故?的分布函数为
F(y)???0,y?0??y
????yp(x)dx,y?0．7．若?,?为相互独立的分别服从[0，1]均匀分布的随机变量，试求?????的分布密度函数．
解：?与?的密度函数为
p?1,0?x?1?(x)?p?(x)??其它 （1） ?0,由卷积公式及独立性得?????的分布密度函数为
y
p?(y)?????p?(x)p?(y?x)dx （2）
2 C
把（2）与（1）比较知，在（2）中应有0?x?1，
0?y?x?1，满足此不等式组的解(x,y) 构成
D
图中平面区域平形四边形ABCD，当0?y?1时 1 B
0?x?y ,当1?y?2时y?1?x?1．所以当
A0 1 x
0?y?1时（2）中积分为
py?(y)??01?1dx?y
当
1?y?2时，（2）中积分为
py)??1?(y?11?1dx?2?y;
对其余的y有p?(y)?0．
所以，?????的分布密度函数为
19
8．设随机变量?1,?,?r相互独立，都服从参数为?的指数
分布，试证?1????r服从?分布?(?,r)。
证明：
9．在(0,a)线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函
数．
解：设(0,a)在内任意投两点?1,?2，其坐标分别为x,y，
则?1,?2的联合分布密度为
?0,(x,y)?(0,a)?(0,a)p(x,y)???1??a2,(x,y)?(0,a)?(0,a)．
设??|?1??2|，则?的分布函数为，当z?0时
F?(z)?0；当z?a时F?(z)?1；当0?z?a时，
F?(z)?P{|?1??2|?z}?dxdy?1???p(x,y)a20?z?x,x?y?ya?z?z???dxdy?0?x,x?y?ya?z，
积分S为平面区域ABCDEF的面积，其值为
a2?(a?z)2?2az?z2，所以
F?(z)?(2az?z2)/a2.
所以，两点间距离的分布函数为
?0,z?0F(z)????(2az?z2)/a2,0?z?a.
??1z?a10．若?,?是独立随机变量，均服从
N(0,1)，试求
U????,V????的联合密度函数．
解：作变换，令s?x?y,t?x?y，得
x?12(s?t),y?12(s?t),|J|?12．由?与?独立知，它们的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U，V的联合密度函数为
p1?1x2UV(s,t)?21y222?e?2?e?1?|J|?1??s?t?2?s2?1e2???????t??????2??2???2??12
221?t2?1e?1(s?t24)?4??1?1?s?2??2e2???2???1?2????2???2??2e?pU(s)pV(t)
所以U,V两随机变量也相互独立，且均服从N（0，2）． 11．设?,?相互独立，分别服从N(0,1)，试证??
??服从
柯西分布．
?1证：
p?(x)?p1?(x)?2?e2x2，
p1?1??(x,y)?2(x2?y2)2?e
由求商的密度函数的公式得
p?(y)?????|x|p(xy,x)dx?1?122(x2y2?x?1??2x2(1?y2)??|x|2?e)dx?22???0xedx
11????12x2(1?y2??1?y2??e)????0?1?(1?y2), ???y???
??
??服从柯西分布．
12.若?,?相互独立，且同服从指数分布，密度函数为：
20
)???e?xp(xx?0相互独立．
?0x?0，证明：?+?与
???u???证：令?????z1?x?y 即
x 逆变换
???v?????z2?y?z?1z?x?2?1?z2
J?z1?y?z1(1?z2
?2)?1?z2 故
p,)?P(z1z2,z1)|J|?e?z1z1????(z1,z2?1?z21?z2,z1?0,2(1?z2)
? 而p?z???(z1)??e1z1(1?z2dz2?z1e?z10,z1?0 2)
p??(z2)??e?z1z1(1?zdz1?1,z2?0 ?02)2(1?z2)2 因
p???,?(z1,z2)?p???(z1)p?(z2)对?z1,z2
?? 故
??? 与
??独立．
13.设平面上随机点的直角坐标(?,?)有联合密度函数
p(x,y)?2?(1?x2?y2)，0?x2?y2?1
求此点极坐标(?,?)的联合密度与边缘密度函数。
解：本题所涉及的变换x?rcost,y?rsint是(?,?)的
值域0?x2?y2?1到(?,?)的值域(0,1)?[0,2?)间的一
一变换（坐标原点除外），其雅克比行列式J?r。
由变量变换法，得极坐标(?,?)的联合密度为
??2r(1?r2p(r,t)??),0?r?1,0?t?2?，
???0,其它