求E(???)。
解：引入随机变量
解：据题意知，?,?的概率分布分别为
?i???1,第i个人戴对自己的帽子，i?1,2,?,n
?0,第i个人未戴对自己的帽子??1??2????n ，且
P{??i}?(1?p)i?1p，i?1,2,?； P{??j}?(1?p)j?1p，j?1,2,?。
显然，?P{?i?1}?所以，
11，P{?i?0}?1?， nnnnE(???)???ipij???jpijj?1i?jj?1i?j??
E(?)?E(?1??2????n)??E(?i)??1?P{?i?1}?0?P????2?j?1?i(1?p)i?j?2p??j??j(1?p)i?j?2p2
j?1ij?1i?1?jj?1??qj?1p2(q?q)??j?1?jqj?2p2q(1?q)1? j?11?q?2j?2???(jq(1?q)?q2j?1)?j?1(1?qj?1)p
j?1?jqj?1?3?2pp(2?p)。 12．袋中有r个红球与b个黑球，现从中任取n个球，求其中红球个数的数学期望。
解：以?表示任取n个球中红球个数，则
Ck?kP{??k}?rCnbCn，k?0,1,2,?,l?min(r,n)
r?bll??k}??kCkk则E(?)??kP{rCn?bCn
k?0k?0r?bl??r!Cn?kbk?1)!(r?k)!Cn
k?1(r?bl?r?Ck?1Cn?kbr?1k?1Cn?1r
r?b?1??bn?nrr?b 13．参加集会的n个人将他们的帽子混放在一起，会后每人任取一顶帽子戴上，以?表示他们中戴对自己帽子的人的个数，求
E(?)。
26
i?1i?1
14．设袋中有
2n个球，其中编号为
k的球各
Ckn个
（k?0,1,2,?,n）
，现不放回地从袋中任取m个（m?2n），求这些球上编号之和的数学期望。
解：令?i表示取出的第i个球上的编号，i?1,2,?,m，
由抽签与顺序无关，P{?k}?Ckni?2n,k?0,1,...n
n则E(?Cknni)??kk?02n?2
所以m个球之和的数学期望
mE(?1??2?...??m)??E?i?mni?12
15．袋中有r个红球与b个黑球，现任意一一取出，直至取到红球为止，求取球次数的数学期望。
解：令?表示直至取到红球为止所进行的取球次数，则
P{??k}?bb?1b?2b?krr?b?r?b?1?r?b?2???r?b?k?r?b?，k?1,2,?,b?1，
所以，
b?1E(?)??kP{??k}
k?1b?1??k(bb?1b?2b?krk?1r?b?r?b?1?r?b?2???r?b?k?r?b?
2?2?r?kk?1b?1b?1b!(r?b?k?2)!?
(b?k?1)!(r?b)!1k?111?2k?11?k?11E(?)??k?(1?)???kq??(?q)???nnnk?1nk?1nk?1
(r?1)!b!(r?b?k?2)!?r?k?
(r?b)!(b?k?1)!(r?1)!k?1r!b!b?1?1?k?Crr??b?k?2 (r?b)!k?1
1q2121??()???n???n??2n3?n3n1?qn(1?q)n?2n2?n，
所以，D(?)?E(?2)?(E(?))2?2n2?n?n2?n2?n。
?3.2 习题
r?b?1
r?12．若随机变量?服从拉普拉斯分布，其密度函数为
1．某人有n把外形相似的钥匙，其中只有一把能打开门。现任意一一试开，直至打开门为止。试对如下二情形求试开次数?的方差：（1）每次试毕不放回；（2）每次试毕放回。
解：（1）?的可能取值为1,2,1p(x)?e2??|x??|?,???x??, ??0。试求D(?)。
??|x??|1xe解：E(?)????2??dx(令t?(x??)?)
,n。
???????????t??2???e?|t|dtn?1n?2n?(i?1)11P{??i}???????，
nn?1n?(i?2)n?(i?1)n?t2e?|t|dt????2e?|t|dt?0????，
?|x??|i?1,2,?,n
11n(n?1)n?1?故E(?)??i???，
nn22i?1nD(?)??
?1(x??)2e??2??(令t?(x??)?)11n(2n2?3n?1)2n2?3n?1E(?)??i????，
nn66i?12n2??2?t2e?tdt??2t2(?e?t)?2?2?te?tdt
??00???2?t(?e)?2?02?t?2??0te?tdt?2?2(?e?t)?0?2?2所
22以
。
3．甲从1,2,3,4中任取一数，乙再从1,?,?中任取一整数?，试求(?,?)的协方差。
2n2?3n?1n?12n2?1D(?)?E(?)?(E(?))??()?6212。 （2）P{?11?k}?(1?)k?1?，k?1,2,?
nn?解：
那么?取每一个值的概率为?可以取的值为1,2,3,4，
1。41k?111?k?11?k???kq??(?q)? 故E(?)??k?(1?)nnnk?1nk?1k?1一旦?取定值i，那么?只能从1,2,?,i中取值，取每一个值的概率为
。
1。于是有：
1q1q?(1?q)?q(1?q)?1111i??()????????n2212n1?qnn(1?q)n(1?q)1(1?1))P(???i,??j?P??j??iP??i? ??????n4i所以（?,?）的联合分布与边缘分布如下： 27
?1 \\? 1 2 3 4 p?j D??D?1?D?2???D?m?1m(n2?1)。 12（2） 111125 481216485．参加集会的n个人将他们的帽子混放在一起，会后每人任2 0 11113 8121648取一顶帽子戴上，以?表示他们中戴对自己帽子的人的个数，求
3 0 0 117 121648D(?)。
4 0 0 0 11 解：引入随机变量16161111?1,第i个人戴对自己的帽子 pi?4444 1 ，i?1,2,?,n ?i??0,第i个人未戴对自己的帽子?11111111E(??)?1?1??2?1??2?2??3?1??3?2??3?3??4?1??4?2?48812121216??n ，且 ?1??2??显然，??1611 ?4?3??4?4?
111616P{?i?1}?，P{?i?0}?1?， nn ?5，
1所以，， E(?)?1?P{??1}?0?P{??0}?iii11115nE(?)?1??2??3??4??，
444421222， E(?)?1?P{??1}?0?P{??0}?iii2513717nE(?)?1??2??3??4??，
484848164112n?122D(?)?E(?)?(E(?))??()?2， iii575nnnCov(?,?)?E(??)?E(?)E(?)?5???。
24814．袋中有编号1至n的n张卡片，现从中任意抽取m张。试而P{?i?1,?j?1}?，i?j，
n(n?1)对以下二情形求m张卡片上编号之和的方差：（1）有放回抽取；（2）不放回抽取（m?n）。
解：（1）设?表示抽取m张卡片的号码和，?i表示第i次抽
所
到卡片的号码，则
以
E(?i?j)?1?P{?i?1,?j?1}?1，
n(n?1)，
???1??2????m，因为是有放回抽取，所以诸?i独立。
由此得，对iC(?i,?j)?E(?i?j)?E(o?i)E(?j)?， 故
1111??v?2n(n?1)nnn(n?1,2,?,m。
nE(?i)??j?12n11n1n(n?1)n?1j???j???， nnj?1n2211n(n?1)(2n?1)1j????(n?1)(2n?1)nn662D(?)?D(?1??2????n)??D(?i)?2i?1n1?i?j?n?Cov(?,?ij)E(?i)??j?1
??i?1n，
n?112?2?C??1。 n22nn(n?1)111222D(?i)?E(?i)??E?i??(n?1)(2n?1)?(n?1)2?(6n．设随机变量?1)(?,?,?)有联合密度函数
6412，
p(x,y,z)?(x?y)ze?z，0?x,y?1,z?0，
28
求此随机变量的协方差阵。
解
：
由于
E(?)?????????????xp(x,y,z)d????1100?0x(x?y)ze?zdxdydz?712， E(?)?????????????yp(x,y,z)dxdydz???1170?0?0y(x?y)ze?zdxdydz?12， E(?)?????????????zp(x,y,z)dxdydz????1?1000z(x?y)ze?zdxdydz?2， E(??)?????????????xyp(x,y,z)dxdydz????11?z100?0xy(x?y)zedxdydz?3， E(??)?????????????yzp(x,y,z)dxdydz????110?0yz(x?y)ze?zdxdydz?706， E(??)?????????????xzp(x,y,z)dxdydz????1100?0xz(x?y)ze?zdxdydz?76， 所
以
，
Cov(?,?)?E(??)?E(?)E(?)?17713?12?12??1， Cov(?,?)?E(??)?E(?)E(?)?776?2?12?0，
Cov(?,?)?E(??)?E(?)E(?)?776?12?2?0，
而
E(?2)?????????????x2p(x,y,z)dxdydz????11500?0x2(x?y)ze?zdxdydz?12， E(?2)?????????????y2p(x,y,z)dxdydz????11500?0y2(x?y)ze?zdxdydz?12， E(?2)?????????????z2p(x,y,z)dxdydz????11200?0z(x?y)ze?zdxdydz?6，
29
所以，D(?)?E(?2)?(E(?))2?512?(712)2?11144， D(?)?E(?2)?(E(?))2?571112?(12)2?144， D(?)?E(?2)?(E(?))2?6?22?2，
故此随机变量的协方差阵为
??11?144?10??111144????0?。 ?144?0144?02????7．设随机变量?1,?,?m?n（m?n）是独立同分布的，它
们有有限的方差。求???1????n与???m?1????m?n之间的相关系数。
解：由于随机变量的相关系数与标准化随机变量的相关系数相等，为简单计，不妨设
E(?2i)?0,E(?i)?1，
i?1,2,?,m?n，则
Cov(?,?)?E[(?1????n)(?m?1????m?n)]
?E(?222m?1??m?2????n)?E(?2(4?22n?m4m?1)?Em?2)???E(?n)?， D(?)?E(?21??22????2n)?E(?221)?E(?2)???E(?2n)?n，
D(?)?E(?222m?1??m?2????m?n)?E(?2)?E(?22m?1m?2)???E(?m?n)?n，
故?,?)n?m???Cov(?D(?)D(?)?n。 8．若?与?都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。
证：【法一】设??a,b??p?,??c,d??1,q1??p2,q。作两个随机
2?
变量
即
P{??xi,??yj}?P{??xi}P{??yj}，故
?*???b:??a?b,0?*?c?d,0?,????d:???p,qp,q?11??22?。
(??,独立。)
29．设随机变量?服从标准正态分布，求证?与?不相关，但是不独立。 证明：因为E(?)由?与?不相关即E???E?E?得
E?*?*?E(???b??d??bd)?(E?E??bE??dE??bd)?E(?3)?0，所以，Cov(?,?2)?0，
?(E??b)(E??d)?E?*E?*， 而E?*?*?(a?b)(c?d)P{?*?a?b,?*?c?d}，
E?*E?*?(a?b)P{?*?a?}b(c?d)?{P*??c}d，
由上两式值相等，再由(a?b)(c?d)?0得
P{?*?a?b,?*?c?d}?P{?*?a?b}P{?*?c?d}
此即P{??a,??c}?P{??a}P{??c}。同理
可证
P{??a,??d}?P{??a}P{??d}，
P{??b,??c}?P{??b}P{??c}
P{??b,??d}?P{??b}P{??d}，
从而?与?独立。
【
法
二
】
设
(?,?)的分布列:P{??xi,??yj}?pij,i,j?1,2
?E??x1(p11?p12)?x2(p21?p22)
E??y1(p11?p21)?y2(p12?p22) 由于?,?不相关 ?Cov(?,?)?0，即得 pij?(pi1?pi2)(pj1?pj2),i,j?1,2
30
这表明?与?2不相关。 为证明?与?2不独立，特给定a?0，使得P{??a}?1。
现考察如下特定事件的概率：
P{??a,?2?a2}?P{?a???a}
?P{??a}P{?a???a}?P{??a}P{?2?a2}
所以，?与?2不独立。
10．若?的密度函数是偶函数，且E?2??，试证?与?不
相关，但它们不相互独立。 证：设
f(x)是?的密度函数，则f(?x)?f(x)。由
xf(x)是奇函数可得E??0，从而E?E|?|?0。又由于
x|x|f(x)是奇函数，得
E?|?|?????x|x|f(x)dx?0?E?E|?|
故|?|与?不相关。
由于
?的密度函数是偶函数，故可选
c?0使
0?P{|?|?c}?1，亦有P{??c}?1，
?P{??c}P{|?|?c}?P{|?|?c}?P{??c,|?|?c}
其中等式成立是由于{|?|?c}?{??c}。由此得|?|与
?不独立。