复变函数与积分变换习题集

第二章 解析函数

一、 判断题

（1）设f(z)为整函数，则f(1/z)也是整函数。

（2）设f(z)和g(z)均为整函数，则f(g(z))也是整函数。 （3）设f(z)和g(z)均为整函数，则5f(z)?ig(z)也是整函数。

（4）若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在D内解析 （5）若f(z),f(z)均在区域D内解析，则f(z)在区域D内为常数. (6 )指数函数e是以2?i为周期的函数。 （7）sinz在整个复平面上有界.

( 8 ) 对任意复数z?0,?, Ln(?z)?Lnz。 二、 选择题

1．设f(z)和g(z)均为整函数，下列命题错误的是（ ）

3（A）f(z)是整函数 （B）f(z)g(z)是整函数

z（C）f(z)2是整函数 （D）g(z?2)是整函数 g(z)222．函数f(z)?x?iy在点z?0处是( )

（A）解析的 （B）可导的

（C）不可导的 （D）既不解析也不可导 3．假设点z0是函数f(z)的奇点，则函数f(z)在点z0处( ) （A）不可导 （B）不解析

（C）不连续 （D）以上答案都不对 4．下列函数中，为整个复平面上解析函数的是( )

（A）x?y?2xyi （B）x?xyi

222 1

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（C）2(x?1)y?i(y2?x2?2x) （D）x3?3xy2?3x?i(y3?3x2y?3y) 5．函数f(z)?zRe(z)在z?0处的导数( )

（A）等于0 （B）等于1 （C）等于?1 （D）不存在 6．函数x3?3xy2?3x?i(y3?3x2y?3y)在复平面内 ( )

（A）处处解析 （B）处处可导 （C） 在坐标轴上可导 （D）在坐标轴上解析 7．．设?为任意实数，则1( )

（A）无定义 （B）等于1

（C）是复数，其实部等于1 （D）是复数，其模等于1 8．设f(z)?ex2??y2[cos(2xy)?isin(2xy)]，则f?(1)?( )

?1（A）2e （B）2ei （C）2e9．设?是复数，则( )

（D）2ie

?1??（A）z在复平面上处处解析 （B）z的模为z?

（C）z一般是多值函数 （D）z的辐角为z的辐角的?倍 10．下列数中，为实数的是( )

（A）(1?i) （B）cosi （C）lni （D）e三、填空题

1．假设f(z)?cos(2z)?isin()，则

33?i2???

1zdf? dz2．设f(z)?u?iv在区域D内是解析的，如果u?v是实常数，那么f(z)在D内是

223．设f(z)?x?y?y?2?ix，则f?(0)?

4．设f(z)?15z?(1?i)z，则方程f?(z)?0的所有根为 5125．cos(iln5)= 6．复数Ln(i)?

2

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7．复数(?i)2? 8．Ln(cosi)=

3?4i)}? 9．Im{ln(10．方程1?e?z?0的全部解为 四、证明：如果f(z)在z0连续，则函数f(z),Ref(z),Imf(z),|f(z)|都在z0处连续.

?2z,z?0?五、设f(z)??z?1, 指出它在哪些点处不连续，并说明原因.

?1,z?0?六、讨论下列函数的解析性： （1）

zz?2 （2）|z|?2z （3）xy?ixy （4）x?y?2xyi

2223322（5）x2?y2?x?i(2xy?y2) （6）e?y(cosx?isinx) 七、求ee的实部、虚部。 八．求下列初等函数的值。 （1）e(2?i)4z? （2）Ln(3?i) （3）(?1)?i； （4）sin2i

1?i)（6）（5）cos(e1?3?ie?1?i2? （7）(1?i)1?i

九、解方程： （1）sinz?cosz?0 （2）ln(2iz)?2??2i（3）e2z?ez?1?0

答案

一、?，√，√，?，√，√，?，?

二、(1) C (2)B (3)B (4)D (5) A (6) C (7)B (8) A (9) C (10)B

?i 4。2e三、1．常值函数3。?2sin(2z)?(i/z)cos(1/z) 2。

2184?2k?4i 5。115(k?)?i7。 6。

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e?(??4k?)4e?1?e?2k?i 9。?arctg 10。?2k?i i 8。 ln32五、除z??1,0外连续.

六、（1）处处不解析（2）仅在原点可导，处处不解析 （3）在原点可导，处处不解析（4）仅

在(0,0),(,)处可导，处处不解析 （5）在直线y?七、实部为eex33441

上可导，处处不解析 （6）处处解析 2

cosycos(exsiny)， 虚部为eexcosysin(exsiny)。

八．求下列初等函数的值。

?i(e2?e?2)22??2k?（1）e(； （4） ?i) （2）ln2?(?2k?)i （3）e62222ln2??2k??(?2k??ln2)ie?e?1e?e?122442cos1?isin1（6）ie （7）e（5） 221??1九、解方程：（1）z??

?4?k?（2）2e14(?k?)i8? （3）(2?4??2k?)i，(?2k?)i 33 4