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72学时《高等数学》 辅导材料

南京中医药大学高等数学题库

第一章、 函数与极限

1、函数的定义、函数的二要素——表达式和定义域,两个函数相等的条件; 2、函数的分类:分段函数、反函数、复合函数—他们的特点和要点; 3、函数的极限的定义、性质和要点,特别是x?x0时的情况;

4、 无穷小量和无穷大量的定义、无穷小量的性质、他们之间的关系、无穷小量的比较p23 (10); 5、函数极限的运算; 6、极限存在定理;

7、两个重要极限;结构和使用方法 p23

8、函数的连续性 定义、函数连续的三要素、间断 9、初等函数的连续性——5个性质

连续函数的四则运算还是连续函数、连续函数的复合函数还是连续函数、最值定理、介值定理、根存在定理;

___________________________________________________________

1、在下列各对函数中那些事相同的

a、 f(x)?(x)2,g(x)?x b、 f(x)?sinx?cosx,g(x)?1

22x2?1,g(x)?x?1 C、 f(x)?lnx,g(x)?2lnx d、 f(x)?x?122、判定f(x)?3(1?3x)2?3(1?3x)2(???x??)的奇偶性

3sinxx?4?2? 5、 lim(3?2x)x?1 3、lim 4、limx?1x??x?0xx?1?16、函数y?11y?的间断点为 7、函数的连续区间为 2x?3x?2(x?1)(x?2)3?tanx?sinx11?8、lim? ??= 9.,计算极限lim(3?2x)x?1? 10、.lim2x?1x?0x?0ln(1?x)xtanxx??

11、lim(n?1?n)? .

n?? .

1

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12、设 limx?01?cosx?0xln(1?t)dt?, .

13、f(x)?arcsin(tanx)( x?0)补充定义f(0)之值,使f(x)在x?0处连续。. 2x14,设f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4),则f?(x)?0在区间[1,4]上恰有________个根 15、limn(sinn??11?sin)? . nn?116、设函数f(x)?arcsin(多少?

3tanx)( x?0),要使得f(x)在x?0处连续, 需要补充定义函数值f(0)为2x—————————————————————————————————— 第二章、 导数与微分

1、 2、 3、

导数的定义lim?ydy?、导数的意义、

?x?0?xdx函数的连续性与可导性的关系 函数的求导法则

导数的四则运算法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则、参数方程函数求导法则、高阶导数 4、 5、 6、

微分的定义、几何意义 微分的求法、微分形式不变性 近似计算

f(x)?f(0)?f'(0)x和f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)

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1、设函数f(x) 在点x?0处可导,且f?(0)?1, limx?0f(5x)?f(?2x)?

x2、y?x?lnx2,y?? 3、y?lnx?sinxxy??

cosx),求dy x4、y?e?lnx,y??= 5、y?e?sinx,y??? 6、设y?sin(7、设y?(cosx)sinxx,求y'

2??x?asintdy?x?acostd2y??y8、?(a、b为常数),求2 9、? 为 3dxdx??y?bcost?y?t10,若y?arctan

1?x, 则dy? 1?x2

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11、若f(x)?xdylgx, 则f?(x)? 12、设y?arctan2x?1,求

dxx213、设f(x)??tsint1dt,则f'(x)?

sinx14、设y?(cosx),x?(0,?2),求: dy

15、ex?ey?xy?0 y'? 16、x2?y2?xy?1,dy? 17、若f(t)?1?1?dyt, 则f?(9)? 18、设y?arctan3x?1,求.

dxt___________________________________________________________________________________________

第三章、 导数的应用

1、

中值定理—罗尔定理、拉格朗日中值定理

注重他们的使用条件和特点 2、 罗比达法则

两个无穷小量之比的极限、两个无穷大量之比的极限、 未定型的极限 0?????01?00 3、函数性态的研究

2个定义、5个定理、三条渐近线

极值的定义、拐点的定义、1单调性定理、2极值的判断定理、3两个极值的判定定理、凹凸性的判定定理。水平渐近线、垂直渐近线、一般渐近线 4 、函数的最大值和最小值的计算

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1、函数 f(x)?x3?3x2?9x?5 的极小值是:( ) 2、当|x|较小时,ln(1?x)? 4、当x较小时,sin2x? 5、函数f(x)?4(x?1)?2 有没有极值,如果有,是极大还是极小值? x2326.求f(x)?2x?9x?12x的单调区间和极值。

3

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1ex?e?x(x?3)2x2? 9、lim(cosx) 7、曲线y?的斜渐近线方程为 8、limx?0x?0sinx4(x?1)10、limx?01?cosxx2= 11、limx?elnx?2x? 12、limx?

x?0x?e2? 13、求:limx?0?1xx20(tant?t)dt2t(t?sint)dt?x 。

014、lim(1?x)?e(1?x)?e? 15、求lim=

x?0x?0xx1x16、已知点(1,3)是y?ax3?bx2的拐点,则a?b?

,3)为曲线y?x3?ax2?bx?14的拐点,则a、b的值分别为 17、已知(1___________________________________________________________________________________________

第四章、 不定积分

1、

不定积分的定义—原函数族

x?f(x)d?F(?)x c2、 不定积分的意义—几何意义和物理意义 3、不定积分的性质(5个) 4、不定积分的基本公式 16个 5、积分法 ①、直接积分法;

②、换元积分法;凑微分法和换元法 ③、分部积分法;降幂法和循环法

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1、

11ddxdx?dx?(?f?(x)dx)? 2、 3、求= 4、?1?e2x?1?cosx?1?sinxdx5、求

?dx33?2x= 6、求xarctanxdx 7、tanxdx? 8、

???11?ex3xdx?

19、 2、设

,求f(x) 5、edx? 求

?x?(1?x)23dx

4

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xxx9、xf??(x)dx? 10、aedx? 11、xedx? 12、xlnxdx?

????13、

dxdxxxxxaedx= ?? 14、 15、 16、dx?ea??ex?1?1?x?17、

?tanxdx? .

lncosx___________________________________________________________________________________________

第五章、 定积分及其应用

1、 2、

定积分的概念 定义:lim?f(ai)?xi??f(x)dx、几何意义-曲边梯形面积

??0ab定积分的补充点;定积分只是一个纯数、与积分变量无关、

?aaf(x)dx?0、

?3、 4、 5、

baf(x)dx???f(x)dx

ba定积分的性质 7个 变动上线函数 Q(x)??牛顿-莱布尼兹公式 样的闭区间中使用。

xa t且有Q?(x)?f(x) f(t)d?baf(x)d?xF(?)b—只能在?a,b?这F( 要注意它的适应条件)a6、 7、 8、 A、

定积分的计算 实际上就是利用不定积分后带上下线,方法与不定积分行同。 广义积分和无界函数积分 定积分的应用(5个)

平面图形的面积;直角坐标系下平面图形面积的计算— 4种情况;

?2?1 极坐标系下平面图形面积的计算 s??B、 C、 D、 E、

旋转体的体积 Vx???y2(x)dxVy???x2(y)dy

acbd12r(?)d? 2函数的平均值 y??f(x)dx 就是积分中值定理

ab变力所做的功 W??f(x)ds

ab液体的静压力 F??pd sab__________________________________________________________

1、y?

?x0sintdt y'x??2? 2、?211edx? 3、?xexdx? 20x1x5