l0，l120，d33，20p30，30q20；

⑵25岁的人至少再活20，最多活25年的概率； ⑶三个25岁的人均存活到80岁的概率。 1200

)?0 )?1000；l120?1000(1?解：⑴l0?1000(1? 120120

d33?l33?l34?1000? 125 ?

1203

l20?l50l507

q??0.3 ?；302020p30? l20l309 l45?l501

q??⑵20525 l2519 l80383

p?()?()?0.074646449⑶5525 l2519

4．若lx?100000( c?x

)，l35?44000，求：⑴c的值；⑵生命表中的最大年龄；⑶从出生存活到50岁的概 c?x ??90

率；⑷15岁的人在40～50岁之间死亡的概率。 解：⑴ l35

90?xc?35)?0?100000()?44000。所以，c=90 ⑵lx?100000( ，所以， ⑶ c?35

90?xl504

l40?l5050p0?

l? ⑷2510q15?013

l?2。 1535．证明并作直观解释： ⑴ nm

qx?npx?n?mpx；

?

lx?n?lx?n?m证明：nmqxl?lx?n?lx?n?m ?npx?n?mpx xlxlx ⑵ n

qx?npx?qx?n；

l证明：x?n?lx?n?1nqx? l?lx?n?lx?nl?lx?n?1 ?npx?qx?n xlxxlx?n ⑶ n?m

px?npx?mpx?n 。

lx?证明：n?m

pn?ml?lx?n?lx?n?m x??npx?mpx?n xlxlx?n 6．证明： ??x ⑴ ?

lx?t?x?tdt?lx ；⑵ ? ??x t p?

x?x?tdt?1； ⑶?x

tpx?tpx?(?x??x?t)；? ?t

tpx??tpx??x?t。 x 证明：⑴ ? ??0

lx?t?x?tdt?lx?0?lx???x?lx?l??lx ??x ?1 t

p? ??x l⑵ ?

x?t?10

x?x?tdt?0 ldl??1???x x?t1dlx?t?

l?(lx???x?lx)?1； xlx?tlx?0 x

??xtpx ???x(lx?t

l)?dlx?t?lx?dlx?lx?t⑶ x(lx)2 ?

dlx?tl?dlx?t?lx?tdldlx

l(x?t?)?tpx?(?x??x?t)xlxxlx?tlx ⑷

dlx?tlx?tdlx?t??lx?t

()?????tpx??x?t。 tpx??⑷ ?t?xlxlxlxlx?t 8．若40 l

?7746，l41?7681，计算?401： 4

⑴死亡均匀分布假设；⑵鲍德希假设； l??x 401 4 ?? q40

?0.008409068； 1?t?q40 ? ⑵ 40 14 ?? ⑶

⑶假设x解：⑴? ?tpx?e???t可令t?1,px? l41 ?e?? l40 ? 40 14 qx

??0.008444573。 1?(1?t)qx ???0.008426834

9．证明在鲍德希规律下，x q

n与n无关。 ?s(x)?1? 证明： n x ?

s(x?n)?s(x?n?1)1qx?? s(x)??x 所以，x q

n与n无关。

1某人10岁买了定期生存保险，这一保险使其从18岁到25岁每年得到2000元生存保险金，以附表2转换函数值计算这一年金现值。 ?88a10?解：2000

n10?8?1?n10?8?8?1

?2000?0.22775?455.5（元） n10

2．证明下列等式成立，并解释其含义。 nx?1

??ax?vpxax?1； 证明：ax?⑴ dx ⑵

nx?dx

??x?1?vpxa??x?1 ??a dx

??x?1?vpxa??x?1所以，a??x?1?vpxa??x?1； 证明：aa??x?1?vpxa??x?1

??x:n?ax:n?(1?nex)；证明：a ax:n?(1?nex)??

nx?1?nx?n?1dn?d?(nx?n?1?dx?n) ?(1?x?n)?x?1x dxdxdx nx?nx?n ??x:n?a dx ⑶ ⑷ n

ax?v?npx?ax?n； n