第一章 函数、极限、连续 习题1-1

1．求下列函数的自然定义域： x3 + (1)

y=21-x

x-1arccos (3) y=解：(1)解不等式组?

(2) y=arctan1

x?3x≠1?

(4) y=?. ?3 , x=1??x+3≥0得函数定义域为[-3,-1) (-1,1) (1,+∞); 2?1-x≠0 ?3-x2≥0(2)解不等式组?得函数定义域为[ ; ?

x≠0

x-1?-1≤≤1?(3)解不等式组?得函数定义域为[-4,-2) (3,6]; 5 2??x-x-6>0

(4)函数定义域为(-∞,1].

2．已知函数f(x)定义域为[0,1]

，求ff(cosx),f(x+c)+f(x-c) (c>0)义域．

解：函数f

要有意义，必须0≤

1，因此f的定义域为[0,1]； 同理得函数f(cosx)定义域为[2kπ-,2kπ+]； 22

?0≤x+c≤11函数f(x+c)+f(x-c)要有意义，必须?，因此，（1）若c<，定义域为：2?0≤x-c≤1

（2）若c=[c,1-c]；的定ππ111，定义域为：{；（3）若c>，定义域为：?． 222 1?x-a?3．设f(x)=2 1-?,a>0,求函数值f(2a),f(1)． x?|x-a|? 解：因为f(x)=

f(2a)=1?x-a?1- ?，所以 2x?|x-a|?1?a?1?1-a1-=0，f(1)=1- ?2 4a?a?12 ?-a??2 ,a>1,． =???0 ,0

(1) 对任何x∈R有 |x-1|+|x-2|≥1;

(2) 对任何n∈Z+有 (1+1)n+1>(1+1)n; n+1n (3) 对任何n∈Z+及实数a>1有 a-1≤a-1. n1n 证明：（1）由三角不等式得

|x-1|+|x-2|≥|x-1-(x-2)|=1

（2）要证(1+1)n+1>(1+1)n，即要证1+1>

n+

1nn+1=111(1+)+(1+)+ +(1+)+11 < =1+n+1n+1 得证。

（3）令h=a-1，则h>0。当n≥2时由Bernouli不等式，有 a=(1+h)>1+nh=1+n(a-1) n1n1n

所以

a-1<1 na-1， n

a-1 n又当n=1时，有 a-1=1

n

故对任何n∈Z及实数a>1有 a-1≤a-1. +1n

n

5. 试将下列直角坐标方程化为极坐标方程，而把极坐标方程化为直角坐标方程: 22 (1) ρ=4; (2) x-y=1; (3) x=8y2; (4) θ=π. 425

22222解：(1) x+y=16；(2) ρ(5-7sinθ)=10；(3) 8ρsinθ-cosθ=0；(4) y=x (x≥0) 6．判断下列各组函数中的f(x)与g(x)是否为同一函数？说明理由！

(1) f(x)=ln

2x,g(x)=-ln)x ； )(2) f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x； (3) f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 ; 3x+x(4) f(x)=1+x,g(x)= ； x

解：(1) 是； (2) 不是，因为定义域不同； (3) 不是，因为定义域不同；(4) 不是，因为定义域不同．

7．试确定下列函数的单调区间： 3-x(1) y=+ln(-x)； (2) y=； (3) y=1-sinx. x1-x 3解：(1) 函数的定义域为(-∞,0)，此时，函数y1=单调递减，y2=ln(-x)也是单调递x

减，则y=y1+y2在(-∞,0)内也是递减的．

(2) 函数的定义域为(-∞,1) (1,+∞)，而y=1在(-∞,1)及(1,+∞)上单调递减，故x-1 y=-x1是在其定义域单调递减． =1+1-xx-1 (3) 函数的定义域为(-∞,+∞)，在(2kπ-π 2,k2π+π

2函)数是单调递减的，在

(2kπ+π

2,k2π+3π函数是单调递增的. )2

(2) y=tan1； x8. 判定下列函数的奇偶性： (1) y=x2+2cosx-1； ex+e-x (3) y=；