条件下，决定各个生产阶段的产量，使得计划期内的费用之和最小。

现设有一个生产部门，生产计划周期为n个阶段，已知最初库存量为x1，阶段需求量为dk，单位产品的消耗费用是lk，单位产品的阶段库存费用为hk，仓库容量为mk，阶段

生产能力为bk，生产固定成本为问如何安排

现阶段的产量，使计划期内的费用综合为最小？

该问题本身就是一个多阶段决策问题，设状态变量为xk为k阶段初的库存量，由于计划期初的库存量x1已知，计划期末的库存量通常也是给定的，为简单起见，假定x（n+1）=0，于是状态变量

xk

的约束条件是：

决策变量uk选为阶段k的产量，它满足的约束条件是：

状态转移方程为的要求。

阶段效用由两阶段组成，一部分为生产费用，另一部分为存贮费用，即：

，它满足无后效性

动态规划基本方程为：

七．设计题目： 某机床厂

根据合同，在一至四月份为客户生产某种机床。工厂每月的生产能力为10台，机床可以库存，存储费用为每台每月0.2万元，每月需要的数量及每台机床的生产成本如下表。试确定每月的生产量，要求既能满足每月的需求，又能使生产成本和存储费用之和达到最小。

表 需求量及生产成本

月份 需求（台） 生产成本（万元/台） 1. 构造动态规划模型

1阶段变量k ○

1 6 7 2 7 7.2 3 12 8 4 6 7.6 把每个月作为一个阶段，k=1,2,3,4

2状态变量○

，可满足无后效性，

选择每个阶段的库存量为状态变量

由已知条件可知：x1=x5=0，单位为台

3决策变量○

，由已知条件得0≤

≤

设每个阶段的生产量为决策变量10台，

4状态转移方程 ○

状态转移方程为：需求量）

5阶段指标○

=+-（是第k阶段的市场

第k阶段的指标费用： （或

（

,,）=0.2）=0.2

+y(i)

（

>0）i=1,2,3,4. =0）

+0 （

其中y1=7，y2=7.2，y3=8，y4=7.6，单位为万元 2. 建立基本方程 设最优值函数

是从第k阶段的

状态出发到过程终

结的最小费用，按动态规划方法的逆序解基本方程又：

[

F5(x5)=0 3. 逆序逆推计算

1k=4时 ○

(,)+] （k=4,3,2,1）

按照问题的各种约束条件，确定状态变量x4的取值范围。按穷举法的思路，在量化的精度内，确定状态变量x4的全部可能取值。状态转移方程 x5=x4+u4-d4

又x5=0，d4=6 所以有x4+u4=6

又因为每个月的最大生产能力为10台。第1，2，3月的需求量为6，7，12台，故x4=0，1，2，3，4，4台

2对x4的的确定取值，分别求出决策变量u4的取值范围 ○

当x4=0，u4=6;x4=3,u4=3 x4=1, u4=5; x4=4, u4=2 x4=2, u4=4; x4=5, u4=1

由此可知x4与u4是一一对应的，即对于每个确定的状态，只有一种决策，故这唯一决策的结果是最优的。 利用第四阶段的基本方程进行计算： F4(x4)=min[v4(x4,u4)+f5(x5)] =min[v4(x4,u4)] =v4(x4,u4)

=0.2x4+7.6u4 (u4>0)或=0.2x4 （u4=0）计算结果列表1 表1 k=4时 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 45.6 38.2 30.8 23.4 16 8.6 0 0 0 0 0 0 +45.6 38.2 30.8 23.4 16 8.6 2k=3时 ○

因为d3=12，d4=6，x1=x5=0，d1=7.每月的最大生产能力为10台，故2≦x3≦7 当x3=2，u3=10 x3=3，u3=10，9 x3=4，u3=10，9，8 x3=5，u3=10，9，8，7 x3=6，u3=10，9，8，7，6 x3=7，u3=10，9，8，7，6，5

状态变量x3的一个取值，对应决策变量u3的六个可能取值，要求分别计算出各个u3取值相应的指标函数值，再挑选其中的最小值为这个状态的最优指标函数值，f3(0). 下面利用第三阶段的基本方程进行计算。 F3（x3）=min【v3(x3,u3)+f4(x4)】

其中v3(x3,u3)=0.2x3+8u3 (u3>0)或v3(x3,u3)=0.2x3 (u3=0)

状态转移方程x4=x3+u3-12 计算结果位于表2 表2表2 k=3时

2 3 10 10 9 0 1 0 80.4 80.6 72.6 45.6 38.2 45.6 +126 118.8 118.2