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第一章 函数及其特性

1.1 集合

一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。 二、表达方式： 集合A，B，C??（大写字母）

元素a，b，c??（小写字母） A=｛a，b，c｝

元素的排列无重复，无顺序。

a属于A记作a?A，1不属于A记作1?A或1?A 三、分类 有限集

无限集 空集Ф

四、集合的运算

1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，A?B或B?A（空集是任何集合的子集）。

2、交集： 存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。A?B，A?B?A，A?B?B，Ф?B=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。

3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。A?B，A?B?A，A?B?B，Ф?B=B。

4、补集：存在A、B两个集合，且A?B，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，叫A的补集，B叫全集。记作AB或AC， AB?A=Ф， AB ?A=B B五、数、数轴、区间、邻域

1、数 实数

虚数: 规定i2= -1，i叫虚数单位，?3?3i2?3i 2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。 3、区间

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(1)闭区间a≤x≤b,x?[a, b] (2)开区间a< x< b, x?(a, b) (3)半开区间 a≤x< b, x?[a, b)

a< x≤b, x?(a, b]

(4)无限区间 x≤a, x?(-∞, a]

x≥b, x?[ b, +∞) x?R, x?(-∞, +∞)

4、邻域：以x = x0为圆心，以δ> 0（δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A、B两点，x0 -δ< x0 < x0 +δ叫x0的δ邻域。

x0 –δ x0 x0 +δ 例1 已知A=｛x? -2≤x< 3｝，B=｛x? -1< x≤5｝，求A?B， A?B 解：A、B集合中x的取值范围在数轴表示如下

o | A . o B -2 -1 0 3 5 所以A?B=｛x? -1< x< 3｝， A?B=｛x? -2≤x≤5｝ 例2 已知A、B为两非空集合，则A?B=A是A=B的[ (2) ] (1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件

注：如果A成立，那么B成立，即“A?B”，那么条件A是B成立的充分条件；如要使B成立，必须有条件A，但只有A不一定能使B成立，则称A是B成立的必要条件；如果“A?B”，又有“B?A”，则称条件A是B成立的充分必要条件。

例3 已知集合M=｛0,1,2｝，则下列写法正确的是[ D ] A、 ｛1｝?M B、 1?M C、 1?M D、｛1｝?M 1.2 函数及其几何特性

一、定义：在一过程中，存在两个变量x、y，y是按照某一对应规则f随x的变化而变化，y

就叫做关于x的函数（一元函数），表达式：y=f (x) x叫自变量，定义域Df （x取值范围） y叫因变量，值域DR （y取值范围） 二、求定义域

例1 求y?解：

1?1?x2的定义域。 x2(1)x?0(2)1?x?0???1?x?1?x?[?1,0)?(0,1]

x?1的定义域 2例2 求y?1?x?arcsin - 2 -

(1)1?x?0???3?x?1?x?[?3,1] 解：x?1(2)?1??12例3 求y?f(x)?1的定义域

lg(x?1)(1)lg(x?1)?0?x?2解：

(2)x?1?0??x?(1,2)?(2,??)

注：真数等于1时，对数值等于0。 三、图象 四、几何特性

1、单调性。对于y=f(x), x?Df, if y随x的增加而增加，则y=f(x)在Df内单调增。

y随x的增加而减少，则y=f(x)在Df内单调减。

2、有界性。对于y=f(x), x?Df, 对于任一x?Df，满足A≤f(x)≤B，则y=f(x)在Df内有界，A叫下界，B叫上界。

3、奇偶性。对于y=f(x), x?Df, 且Df为对称区间, if f(-x)=f(x)，则y=f(x)为偶函数。

f(-x)= -f(x)，则y=f(x)为奇函数。

如两者均不符合，则y=f(x)为非奇非偶函数。

注：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。 4、周期性。（三角函数的周期性）

对于y=f(x), x?Df, if 存在T>0，满足f(x+T)=f(x), 则y=f(x)是周期函数，T叫最小正周期。

3x?1例1 讨论y?f(x)?x的奇偶性（x?R）

3?11?13?x?13x1?3x3x?1解：?f(?x)??x????x??f(x)

3?111?3x3?1?13x? 原函数是奇函数

例2 讨论y?f(x)?ln(x?1?x2)的奇偶性(x?R)。

(1?x2?x)(1?x2?x)22解： ?f(?x)?ln(?x?1?x)?ln(1?x?x)?ln(1?x2?x)(1?x2?x)?f(?x)??f(x)?ln1?ln(1?x2?x)?1??ln(1?x2?x)??f(x)?原函数是奇函数

1.3 五种基本的初等函数

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