知识点3 向量的线性组合

一、向量组

定义1 ：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组．

例：n个n维向量e1?(1,0,,0)T,e2?(0,1,,0)T,,en?(0,0,,1)T称为n维单位向

量组。Am?n矩阵按行分块可以看做是m个n维向量；按列分块可以看做是n个m维向

量.

?a11a12a13a14????T1?A34???aaa??2122a23a??T?24??1,?2,?3,?4????2? ?a31a32a3334?????T3??

二、线性组合

定义: 给定向量组A:a1,a2,,am,对于任何一组实数k1,k2,,km,称向量

k1a1?k2a2??kmam

为向量组A的一个线性组合,k1,k2,,km称为这个线性组合的组合系数.

定义: 给定向量组A:a1,a2,,am和向量?,若存在一组实数?1,?2,,?m,使得

???1a1??2a2???mam

则称向量?是向量组A的一个线性组合,或称向量?可由向量组A线性表示.

??a1?注1 任一个n维向量a??a?2??都可由n维单位坐标向量组e1,e2,,en线性表示:

???a?n? a?a1e1?a2e2??anen . 注2 向量?可由向量组A:a1,a2,,an线性表示

?方程组a1x1?a2x2??anxn??有解 ?Am?nx??有解?R(A)?R(A,?)

??1??1??1??1?1????例1 设a,a2???1??0?1??2???,a3???,b???2??2????1??4??3??

?3????0????1??证明向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示,并求出表示式.

??1111??1032?证明

(A,b)?(a12?10?1?2?1?1,a2,a3,b)????2143???~?0000?? ?2301????0?0000???R(A)?R(A,b)?2

? 向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示

1

??3??2???3c?2?????1???2c?1?(2 方程Ax?b的通解为x?c???????c?R) ?1??0??c??????? ? b?(?3c?2)a1?(2c?1)a2?ca3(其中,c可任意取值)

三、向量组的等价

定义： 设有两个n维向量组A:a1,a2,,am；B:?1,?2,,?l.

若向量组B中每一个向量均可由向量组A线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示。若向量组A与B可以相互线性表示,则称这两个向量组等价.

向量组的等价是一种等价关系,即向量组的等价具有: 自反性、对称性、传递性. 定理1向量组B:?1,?2,,?l可由向量组A:a1,a2,,am线性表示?存在矩阵K,使

证明 由于一个向量?可由向量组A线性表示可等价地表示成方程组 那么若向量组B可由组A线性表示,则对组B的任意向量?j有

B?AK.

??k1a1?k2a2??kmam

?k1j???k2j???j?k1ja1?k2ja2??kmjam?（a1,a2,,am),j?1,2,????k???mj?k1s??k11k12??kkk222s?21? ??1,?2,,?s???a1,a2,,am?? ????kkmk?1m2ms?? B?AK.

这里，矩阵Km?s?(kij)称为这个线性表示的系数矩阵或表示矩阵.

推论1 向量组B:?1,?2,,s

,?l可由向量组A:a1,a2,,am线性表示

?存在矩阵K,使B?AK ?矩阵方程AX?B有解 ?R(A)?R(A,B)

推论2 向量组A:a1,a2,,am与向量组B:?1,?2,,?l等价

?R(A)?R(B)?R(A,B).

?1??3??2??1??3???1??1??0??1???1?例3 设a1???,a2???,?1???,?2???,?3???,证明向量组a1,a2与向量组

?1??1??1??0??2????????????1312?????????0??1,?2,?3等价.

2

??13213??13213?证明

(A,B)???1101?1?2111???11102???~?0?00000?? ??13120????00000?? ?R(A)?R(A,B)? 2??213??10?2?10?2

B??01?1???~?01???~1??0?1???102?0?? 10?120??213??0???120????000?? ?R(B)?2 ?R(A)?R(B)?R(A,B?)

? 向量组a1,a2与向量组?1,?2,?3等价.

3