知识点——集合与常用逻辑用语 下载本文

知识点——集合与常用逻辑用语

【知识梳理】 一、集合及其运算 1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法

集合 符号 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B) 集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中 集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集 符号语言 A?B (或B?A) A?B (或B?A) A=B Venn图 自然数集 N 正整数集 N*(或N+) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 子集 真子集 集合相等 3.集合的基本运算 运算 交集 自然语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 符号语言 A∩B={x|x∈A且x∈B} Venn图 A∪B={x|x∈A或x∈B} ?UA={x|x∈U且x?A} 并集 补集

【知识拓展】

1.若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1. 2.A?B?A∩B=A?A∪B=B. 3.A∩(?UA)=?;A∪(?UA)=U;?U(?UA)=A.

二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1.四种命题及相互关系

2.四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件

(1)如果p?q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件; (2)如果p?q,但q

p,则p是q的充分不必要条件;

(3)如果p?q,且q?p,则p是q的充要条件; (4)如果q?p,且p(5)如果p

【知识拓展】

1.两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性. 2.若A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 (1)若A?B,则p是q的充分条件; (2)若A?B,则p是q的必要条件; (3)若A=B,则p是q的充要条件; (4)若A?B,则p是q的充分不必要条件; (5)若A?B,则p是q的必要不充分条件; (6)若A

【易错提醒】

1.描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如:{x|y=lg x}——函数的定义域;{y|y=lg x}——函数的值域;{(x,y)|y=lg x}——函数图象上的点集.

2.易混淆0,?,{0}:0是一个实数;?是一个集合,它含有0个元素;{0}是以0为元素的单元素集合,但是0??,而??{0}.

3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素的互异性. 4.空集是任何集合的子集.由条件A?B,A∩B=A,A∪B=B求解集合A时,务必分析研究A=?的情况. 5.区分命题的否定与否命题,已知命题为“若p,则q”,则该命题的否定为“若p,则?q”,其否命题为“若?p,则?q”.

6.对充分、必要条件问题,首先要弄清谁是条件,谁是结论.

B且A?B,则p是q的既不充分也不必要条件. q,且q

q,则p是q的必要不充分条件; p,则p是q的既不充分也不必要条件.

【必会习题】

1.已知集合A={1,3,m},B={1,m},A∪B=A,则m等于( )

A.0或3 B.0或3 C.1或3 D.1或3 答案 B

解析 ∵A∪B=A,∴B?A,∴m∈{1,3,m},∴m=1或m=3或m=m, 由集合中元素的互异性易知m=0或m=3.

2.设集合A={x|1

A.{a|a≥2} B.{a|a≤1} C.{a|a≥1} D.{a|a≤2} 答案 A

解析 若A?B,则a≥2,故选A.

3.已知集合M={x|-35},则M∪N等于( )

A.{x|-3-3} D.{x|x<-3或x>5} 答案 C

解析 在数轴上表示集合M、N,则M∪N={x|x<-5或x>-3},故选C.

4.满足条件{a}?A?{a,b,c}的所有集合A的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D

解析 满足题意的集合A可以为{a},{a,b},{a,c},{a,b,c},共4个.

5.已知集合U=R(R是实数集),A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<0},则A∪(?UB)等于( ) A.[-1,0] B.[1,2] C.[0,1] 答案 D

解析 B={x|x2-2x<0}=(0,2),

A∪(?UB)=[-1,1]∪(-∞,0]∪[2,+∞)=(-∞,1]∪[2,+∞),故选D. 6. “x<0”是“ln(x+1)<0”的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 B

解析 ln(x+1)<0,解得0

∴-1b,则am2>bm2;

③在△ABC中,若sin A=sin B,则A=B;

④在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,则方程有实数根. 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

D.(-∞,1]∪[2,+∞)