知识点——集合与常用逻辑用语

【知识梳理】 一、集合及其运算 1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法

集合 符号 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 符号语言 A?B (或B?A) A?B (或B?A) A＝B Venn图 自然数集 N 正整数集 N*(或N＋) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 子集 真子集 集合相等 3.集合的基本运算 运算 交集 自然语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} Venn图 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ?UA＝{x|x∈U且x?A} 并集 补集

【知识拓展】

1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 3．A∩(?UA)＝?；A∪(?UA)＝U；?U(?UA)＝A.

二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题及相互关系

2．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件

(1)如果p?q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； (2)如果p?q，但q

p，则p是q的充分不必要条件；

(3)如果p?q，且q?p，则p是q的充要条件； (4)如果q?p，且p(5)如果p

【知识拓展】

1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A?B，则p是q的充分条件； (2)若A?B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A?B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A?B，则p是q的必要不充分条件； (6)若A

【易错提醒】

1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．

2．易混淆0，?，{0}：0是一个实数；?是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0??，而??{0}．

3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件A?B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝?的情况． 5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则?q”，其否命题为“若?p，则?q”．

6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．

B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件． q，且q

q，则p是q的必要不充分条件； p，则p是q的既不充分也不必要条件．

【必会习题】

1．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )

A．0或3 B．0或3 C．1或3 D．1或3 答案 B

解析 ∵A∪B＝A，∴B?A，∴m∈{1,3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m， 由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.

2．设集合A＝{x|1

A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2} 答案 A

解析 若A?B，则a≥2，故选A.

3．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N等于( )

A．{x|－3－3} D．{x|x<－3或x>5} 答案 C

解析 在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故选C.

4．满足条件{a}?A?{a，b，c}的所有集合A的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4 答案 D

解析 满足题意的集合A可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共4个．

5．已知集合U＝R(R是实数集)，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪(?UB)等于( ) A．[－1,0] B．[1,2] C．[0,1] 答案 D

解析 B＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，

A∪(?UB)＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D. 6． “x<0”是“ln(x＋1)<0”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 答案 B

解析 ln(x＋1)<0，解得0

∴－1b，则am2>bm2；

③在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B；

④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

D．(－∞，1]∪[2，＋∞)