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浅谈分类思想方法在中学数学中的应用

作者：林英

来源：《中学理科园地》2011年第05期

摘 要：本文主要简述了分类思想方法的含义和应用，并结合教学实践经验就如何有效开展中学数学分类思想方法的应用提出自己的观点。 关键词：分类思想方法；教学手段；渗透教学

分类思想方法是当被研究的对象包含多种可能的情况，导致我们不能对它们一概而论的时候，迫使我们必须可能出现的所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论。它是一种非常重要的中学数学思想方法。分类思想方法对于中学生来说是比较难掌握的一种数学思想方法。

一、根据分类的含义，分类必须遵循下列原则

（1）分类所得的各子项外延的总和，应当与被分类的概念的外延相等，即没有遗漏。如三角形按边的大小为标准，可分为：等腰三角形和不等边三角形。因为它们的外延的总和，恰好与三角形的外延相等。

（2）分类所得的各子项，应当是互相排斥的，即没有重复。如把平行四边形分为矩形、菱形和正方形，就不仅违反了原则（1），而且也违反了原则（2）。

（3）分类应按同一标准进行。由于集合的分类、概念的划分可以多层次地进行，所以分类时也可以多层次进行，但每一次划分时，标准只能一个。 二、下面浅谈一下分类思想方法在中学数学的应用

（1）用类分法来定义概念。如有理数或实数的绝对值定义是采用类分法给出的。即 a=a （a≥0）-a（a＜0）

在这个定义中选择a=0作为分类的标准。在每一类中，其结果都不包含绝对值符号，因此定义也给出了如何脱去绝对值符号的方法。 例如，化简 x+3+x-5 分析：分三种情况考虑： ①当x＞5时，原式=x+3+x-5=2x-2

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②当-3≤x≤5时，原式=x+3+5-x=8 ③当x＜-3时，原式=-x-3+5-x=-2x+2

（1） 运用类分法可以揭示一个概念究竟概括了何类属性的对象。如代数式可作如下多层次的分类：

代数式有理式整式分式无理式

（2） 运用类分法来讨论数学对象的性质，在数学教学中，对含字母系数的方程的讨论必须使用类分法。例如，对于方程ax=b的解的情况要分别就a≠0 或 a=0两种情况来讨论，对a=0的情况又分为b≠0 和 b=0两种情况来讨论。即 a≠0，方程有唯一解，x=b/a a=0，若b=0，方程有无数解 若b≠0,方程无解。

对函数的增减性问题的讨论也常常使用类分法。例如：对一次函数y=ax+b(a≠0)增减性的讨论，要分为a＞0和a＜0两种情况来进行。对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）增减性的讨论，要按下列情况来分类进行。 a＞0x?芏-b/2a增 x＜-b/2a减 a＜0x?芏-b/2a 减 x＜-b/2a增

（3） 运用类分法可以 从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类

在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这是一种最容易解决的情况，然后通过辅助线作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从特殊到复杂的定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况一个个解决的方法。

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（4） 运用类分法解题，在中学数学中，需要用分类讨论方法来解决的数学问题非常多，现举例说明：

例1 已知∠ABC=67°,BD是从∠ABC的顶点引出的一条射线,且∠CBD=36°,试求出∠ABD的度数。

分析:由于射线BD的端点B是确定的,而方向不确定,因此∠ABD的位置可以分为在∠ABC的内部和外部这两种情况来进行讨论。 解:（1）若射线BD在∠ABC的内部,则 ∠ABD=∠ABC-∠CBD = 67°-36° = 31°

（2）若射线BD在∠ABC的外部,则 ∠ABD′=∠ABC +∠CBD′ =67°+ 36° =103°

有关几何图形位置可能出现的情况,要根据相关的条件和几何图形的性质,分类出各种符合条件的图形,从而正确解决问题。

例2 人教版七年级（下）《三角形的边》中有这样一题:用一条长18cm的细绳围成一个等腰三角形。

（1） 如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少? （2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗?为什么? 解:（1）设底边长为xcm,则腰长为2xcm。 x+ 2x +2x=18 解得x=3.6

所以,三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm。

（2）因为边长为4cm的边可能是腰,也可能是底边,所以需要分两种情况讨论。