高中数学竞赛讲义

复数

一、基础知识

1．复数的运算法则：

三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；

(z2?0),zrz1r1?[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，或记为z1z2=r1r2ei(?1??2)；1?1ei(?1??2). z2r2z2r2nn2．棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ). 3．开方：若w?r(cosθ+isinθ)，则w?r(cos??2k?n?isin??2k?n)，k=0,1,2,…,n-1。

4．方程xn?1?0(n为自然数，且n?2）的n个根

?k?cos记为：

2k?2k??isin(k?0,1,2,?,n?1)称为1的n次单位根。由棣莫弗定理，nn全部n次单位根可表示为1，?1，?12，??1n?1。

关于单位根，有如下常用性质：1??1??12????1n?1?（0n?2)； 任意两个单位根?i,?j的乘积仍为一个n次单位根，且

（1）?i??j??i?j(当i?j?n时，?i?j??k,其中k是i?j除以n的余数）；

mm（2）设m为整数，n?1，则1??1m??2????n?1???n?0(m是n的倍数），(m不是n的倍数）

（3）1+z1+z2+…+zn-1=0；

2（4）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-z1)(x-z2)…(x-zn-1)=(x-z1)(x-z1)…(x-z1n?1).

特别地：

13-131的立方根有：1，ω＝－＋i，ω＝－－i

2222

-3＝1 （1）ω3＝ω-＋ω-2＝0 （2）1＋ω＋ω2＝0或1＋ω-＝1 （3）ωω

-，ω-2＝ω （4）ω2＝ω

（5）(1±i)2＝±2i，(3±4i)2＝－7±24i

5．代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。

6．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是

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方程的一个根，则z=a-bi也是一个根。

7．若a,b,c∈R,a≠0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当Δ=b2-4ac<0时方程的根为

x1,2??b???i.

2a二、基本方法

1．三角形式的应用。 例1．设n≤2000,n∈N，且存在θ满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么这样的n有多少个？ [解] 由题设得

[cos(?2??)?isin(?2??)]n?cosn(?2??)?isin(?2??)?cos(?2?n?)?isin(?2?n?)，所以n=4k+1.又因为0≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以这样的n有500个。 2．二项式定理的应用。

02410013599例2．计算：（1）C100；（2）C100 ?C100?C100???C100?C100?C100???C100[解] (1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二项式定理

01229999100100(1+i)100=C100?C100i?C100i???C100i?C100i

02410013599=(C100)+(C100)i，比较实部和虚部，得?C100?C100???C100?C100?C100???C10002410013599=-250，C100=0。 C100?C100?C100???C100?C100?C100???C1005．设n=2001，则

12462000(1?3Cn?32Cn?33Cn???31000Cn)? . n23．复数乘法的几何意义。

例3．以定长线段BC为一边任作ΔABC，分别以AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求证：MN的中点为定点。

[证明] 设|BC|=2a，以BC中点O为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定复平面，则B，C对应的复数为-a,a,点A，M，N对应的复数为z1,z2,z3,CA?z1?a,BA?z1?a，由复数乘法的几何意义得：CN?z3?a??i(z1?a)，①BM?z2?a??i(z1?a)，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设MN的中点为P，对应的复数z=

z2?z3?ai,为定值，2所以MN的中点P为定点。

例4．设A，B，C，D为平面上任意四点，求证：AB?AD+BC?AD≥AC?BD。

[证明] 用A，B，C，D表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因为|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).

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所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|, “=”成立当且仅当Arg(B?AB?C)?Arg()，即D?AC?DArg(D?AB?C)?Arg()=π，即A，B，C，D共圆时成立。不等式得证。 B?AD?C4．复数与轨迹。

例5．复平面上动点z1的轨迹方程为z1?z0?z1，Z0为定点，Z0?0；另一动点Z满足z1z??1，求点Z的轨迹，并指明它在复平面上的形状和位置。（高中联赛，1988）

y Z（x，y） r O ?x 图4.5.1

解：由z1z??1知z?0，所以z1??111，代入z1?z0?z1得?z0?。变形zzz为z?(?1111，表示Z是以?为中心，为半径的圆周，但应除去原点。 )?z0z0z0z0例6． ΔABC的顶点A表示的复数为3i，底边BC在实轴上滑动，且|BC|=2，求ΔABC的

外心轨迹。

[解]设外心M对应的复数为z=x+yi(x,y∈R)，B，C点对应的复数分别是b,b+2.因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点M对应的复数z满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得x?6(y?所以ΔABC的外心轨迹是轨物线。

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