2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编

是否收敛？为什么？若将方程组改变成为

?3x1?2x2?4 ??x1?2x2?3再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？（雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性） 解：雅可比迭代式为

?0?2??3??x(k)??? x??30????2??2??2?I?BJ?3???2?3

2(k?1)其?(BJ)?3?1，故雅可比迭代发散。 高斯-塞德尔迭代式为

x(k?1)?0?2?(k)?3???x??5? ?3?????0?2?2???(??3) 0??3?I?BG?其?(BG)?3?1，故高斯-塞德尔迭代发散。

24?x?x???3x1?2x2?4?1323对于线性方程组?，即?，其雅可比迭代为

13x?2x?32?1?x?x?12?2?2x(k?1)??0??1???2132??4??????(k)3x?3，?I?B???3?J1??0?2??2??1，故雅可比迭代收敛。

23??2?1

3?其?(BJ)?x(k?1)?1??1??20??1???I?BG2???4??1?4?2?0??10?????3?x(k)??3? ?0?3?x(k)??1??3?，x(k?1)???5?1?31??0??0??0????2????3??2???6?2?3??(??1) ?130??3?1 33

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其?(BG)?1?1，故高斯-塞德尔迭代收敛。 3?410???4证明解线性方程组Ax?b的雅可比迭代收敛，其中A?121。（雅可比迭代收敛????011??性判断） 解：雅可比迭代为

?1?4?f????????1??4?1???b，B??2??1?????????0?10?0????11????10?1??????22??1???0?10???0?????140?1?0?1??? 2?0????x(k?1)?Bx(k)?f，?I?B?12014015??(?2?) 28?1?其?(B)?5?1，故雅可比迭代收敛。 85已知方程组Ax?b，其中A???12??1?，b??2? ?0.31????(1) 试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。 (2) 若有迭代公式x(k?1)试确定?的取值范围，使该迭代公式收敛。?x(k)??(Ax(k)?b)，

（雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论） 解：雅可比迭代式为

x(k?1)?0?2?(k)?1????x??2? ?0.30?????I?BJ?其?(BJ)??20.3???2?0.6

0.6?1，故雅可比迭代收敛。

高斯-塞德尔迭代式为

?0x(k?1)???0

?2?(k)?1?x??? ?0.6??1.7?34

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?I?BG??2??(??0.6)

0??0.6其?(BG)?0.6?1，故高斯-塞德尔迭代收敛。 对于以下迭代式

x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b)?(I??A)x(k)??b

?I?A??2?(??1?0.6)(??1?0.6)

?0.3??1??1故I??A的特征值为1??(1?0.6)，1??(1?0.6)。 当?5(1?0.6)???0时，有?(I??A)?1，从而迭代收敛。 6给出矩阵A????1a??，（为实数），试分别求出的取值范围： ??2a1?(1) 使得用雅可比迭代法解方程组Ax?b时收敛；

(2) 使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组Ax?b时收敛。（雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论） 解：雅可比迭代为

?0x(k?1)????2????(k)x?b 0???I?BJ?当??????2?2?2

2??12时，?(BJ)??2?1，使雅可比迭代收敛。

高斯-塞德尔迭代为

0??0???(k)?1x(k?1)??x?b ??2??02????2?1??I?BG?仍然是当????20??2?12??(??2?2)

时，?(BG)?2?2?1，使高斯-塞德尔迭代收敛。

7设A??

?21??1?， b?????12??2?35

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(1) 设x(k)是由雅可比迭代求解方程组Ax?b所产生的迭代向量，且x(0)?(1,1)T，试写出计算x(k)的精确表达式。

(2) 设x*是Ax?b的精确解，写出误差x(k)?x*?的精确表达式。

(3) 如构造如下的迭代公式x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b)解方程组Ax?b，试确定?的范围，使迭代收敛。（雅可比迭代及其收敛判断）

1??1???x1??1?2解：原线性方程组等价于??????2?，其雅可比迭代为 ?1??1??x2???1??2?1??0??1????1?(k)(k?1)(0)2x??x???,x?2??1?(k?1,2,?) 1?1???0??????2?将上述迭代式记作x(k)?Bx(k?1)?f，从而

x(k)?x*?B(x(k?1)?x*)???Bk(x(0)?x*)

而x*???，x(0)?x*?????????，若记J???0??1??1??0??1??1?122?1??0?3?01?23J?IJ?J，… ，则，??10?4于是B?(?)J，B?(?)I，B?(?)J，B?(?)I，B?(?)J，… 当k为偶数时，x(k)1221231245125?x*?1?1??(?)k??2?0???1 k21k?0??(?)??2?1???当k为奇数时，x(k)(k)?x*?1k?01??1??(?)???2?10???0??1 2k总之，x?x*??1。 2k??2?1?21?的特征多项式为故其特征值为1，3。 A???I?A??(??1)(??3)，??1??2?12?对于迭代

x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b)?(I??A)x(k)??b

其迭代矩阵为I??A，其特征值为1??，1?3?。当?该迭代收敛。

2???0时，?(I??A)?1，3 36