研究性课题：多面体欧拉定理的发现

温州中学 325000 苏德超

案例设计前言 著名数学教育家G·波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学．从这个方面看．数学像是一门系统的演绎科学，但是另一方面，在创造过程中的数学．看来都像是一门实验性的归纳科学。而本课题是研究性课题，它偏向后者，可以看成是一门实验性的归纳数学学习，它的教学重在过程，重在研究，而不是重在结论。在这个课题的研究过程中可以让学生充分体验归纳——猜想——证明这一知识的发生过程，在证明中，将三维问题转化为二维问题，这种拓扑的证明给学生以数学奇特美的享受，而证明的简化与欧拉公式本身也体现了数学的简洁美。学生是研究的主体，这一阶段（高二）的学生，已经初步掌握了开展研究性活动的知识，这一年龄段的学生参加此类活动的积极性较高，且求知欲强，所以在活动中可让学生充分展开自由的想像，展开热烈的讨论，进行数学交流。由此看来，本案例还是有很多值得挖掘、设计的地方，所以本人尝试编写此教案，与同仁一起交流。

教学目标

（一）知识目标

了解简单多面体的概念；了解公式的发现过程及证明方法；理解多面体欧拉公式；会用欧拉公式及其相关知识进行计算和推理。 （二） 能力目标

1．初步了解并体验数学概念和结论的产生过程，培养学生的观察、归纳、猜想数学问题的能力；提高学生独立思考、发现问题和解决问题的能力。 2．进一步培养学生的空间想像能力和逻辑思维能力。 3．在小组活动中，培养学生的人际交往和协作能力。 4．提高学生的创新意识和创新能力。 （三） 德育目标

1． 通过学生对数学大师欧拉这一生的了解，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索

的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求。.

2． 以欧拉公式为载体，让学生建立严谨的科学态度；让学生感受数学的奇异美和简洁美，

激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：欧拉公式的发现及证明。 教学难点：欧拉公式的证明及应用。 教学环境：数学实验室（具备网络功能）。

教学方法：老师点拨，学生分组探究。在活动中，学生能自己完成的，尽量让学生自己

去做。

教学步骤：

（一） 情境设置：

老师（以下简称师）：在平面多边形中，多边形的边数E与顶点数V有何关系？

学生（以下简称生）：E＝V。

师：我们进一步考虑空间的多面体，它的顶点数V、棱数E、面数F之间有什么关系呢？当年，数学大师欧拉曾研究了这一问题，得出了一个漂亮的结论，那下面大家分组去研究研究，去猜想这一结论到底如何。

学生分组活动，老师巡视，给以指导。

设计意图说明：由于本节课可能时间比较紧张，所以通过类比，开门见山，直接引入主题。再通过抛出数学大师：欧拉，来激发学生的兴趣，进入活动情境。分组研究的目的是为了给大家的交流构建一个小平台，让他们发挥团队精神，来共同完成这个研究性课题。

（二） 学生活动小结

师：下面我们先请第一小组派个代表来回答他们这组的研究结果。 生a：V+F-E=2。

师：这个结论很简洁，体现出了数学中的简洁美。那你们是怎么猜想出这个结论的？

生a：大家看电脑屏幕。如图，我们分别先是作出了一些多面体,包括上节课刚学过的正多面体，然后通过列出表格，

多面体 正三棱锥 三棱台 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 顶点V 4 6 8 6 20 12 面数F 4 5 6 8 12 20 棱数E 6 9 12 12 30 30 结果大家发现对这些多面体来说，都有此规律：V+F-E=2。所以，我们就猜想对于一般的多面体来说，也都成立。

师：非常好，这组同学通过举出熟悉的几何体，通过列表研究，猜想出V+F-E=2。其他组同学有什么其他意见没有？

生：嗯，我们也是得出了同一个猜想。

生b：老师，我也是通过作出特殊例子来研究，但我看到了这样一个例子，它不满足刚才作出的猜想。如图所示，这个图形V＝16，F＝16，E＝32，所有V＋F－E＝0。

师：很好。第一组同学利用我们学过的多面体，猜想出一个很简洁的结论，但被后来一个同学所举的被挖去一个洞的长方体所推翻。其实，大家作出的这个猜想的公式是正确的，得到了大多数同学举的例子的验证，只不过它有它的适用范围：必须是简单多面体。那么什么是简单多面体呢？大家看书：64页最后一段到65页第一段。 学生看书。

师：对于简单多面体的判定，我们就可以通过假定这个多面体的面是用橡胶薄膜做成的，如果对它充气，它能连续变形而变成一个球面，则它便是简单多面体，便满足V+F-E=2.这条公式叫欧拉公式。那么，欧拉是何许人也？为什么称他为数学大师呢？下面大家可以上网查一下资料。（详细资料见附录一）

设计意图说明：刚开始老师并不提醒学生要通过列举自己学过的多面体来研究，通过列表来处理数据，而把这一过程让学生自己去体会，目的是为了让学生在潜移默化中，学会利用自己所知道的，掌握的知识来探究未知的问题，这点对以后他们能开展新的研究来说，很重要。其次，不同学生能提出不同的问题，可以让学生切身体会到一人看问题可能会较为片面，而团体的协作就显得重要了，这样能把问题处理地更加严密，也有利于树立起学生严谨的科学态度。通过对具体多面体的边数、棱数、面数的研究，大多数学生都能作出V+F-E=2这一猜想，而这个结论本身是很美的一个结论，无论简单多面体多么复杂，都有此关系满足，体现出数学美；还有一点，有利于树立起后进生的自信心，因为他的猜想能跟数学大师欧拉的猜想是一致的。再者，通过学生上网搜索欧拉的资料，也是一个很好的数学史的教育，而且，欧拉的感人事迹，能培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学