(ab)(ac)=(a+b-1)(a+c-1)= (a+b-ab)+(a+c-ac)-1=2a+b+c-ab-ac-1，

所以

a(bc)= (ab)(ac).

由于和满足交换律，故此

(bc)a= (ba)(ca).

因此新定义的乘法对新定义的加法满足分配律 (iv) 设0为环(L，+，)的零元，则

0a=a0=a

由(i)，(ii)，(iii)，(iv)可得到(L，，)为交换幺环. (v) 最后证明(L，+，)与(L，，)同构：设

f: L→L x1-x，

容易证明f为(L，+，)到(L，，)的同构映射.

30. 给出环L与它的一个子环的例子，它们具有下列性质: (i) L具有单位元素，但S无单位元素； (ii) L没有单位元素，但S有单位元素； (iii) L, S都有单位元素，但互不相同； (iv) L不交换，但S交换. 解：

(i) L=Z，S=2Z；

(ii) L={|a,b∈R}，S={|a∈R}； (iii) L={|a,b∈R}，S={|a∈R}； (iv) L={|a,b∈R}，S={|a∈R}；

31. 环L中元素eL称为一个左单位元，如果对所有的a∈L，

eLa= a；

元素eR称为右单位元，如果对所有的a∈L， aeR=a. 证明： (i) 如果L既有左单位元又有右单位元，则L具有单位元素； (ii) 如果L有左单位元，L无零因子，则L具有单位元素； (iii) 如果L有左单位元，但没有右单位元，则L至少有两个左单位元素. 证明：

(i) 设eL为一个左单位元，eR为右单位元，则eLeR=eR=eL.记e=eR=eL，则对所有的a∈L，ea=ae=a，

因此e为单位元素；

(ii) 设eL为一个左单位元，则对所有的a(≠0)∈L，a(eLa)=a2；另一方面，a(eLa)=(aeL)a. 所以a2=(aeL)a.因为L无零因子，所以满足消去律[注]，故此a= aeL.另外，若a=0，则a= aeL=eLa.

因此左单位元eL正好是单位元. (iii) 设eL为一个左单位元，因为L中无右单位元，故存在x∈L，使得xeL≠x，即xeL-x≠0, 则eL+ xeL-x≠eL，但是对所有的a∈L，(eL+ xeL-x)a=a,因此eL+ xeL-x为另一个左单位元，所以L至少有两个左单位元素.

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[注意] L无零因子，则满足消去律(参考教材46页). 32. 设F为一域.证明F无非平凡双边理想. 证明：

设I为F的任意一个理想，且I≠{0}，则对任意a(≠0)∈I，则a-1∈F,于是

a-1a=1∈I.

从而F中任意元素f，有

f1=f∈I，

故I=F，即F只有平凡双边理想.

[讨论] 事实上，一个体(又称除环)无非平凡双边理想. 另一方面，若L是阶数大于1的(交换)幺环，并且除了平凡理想，没有左或右理想，则L是一体(域).

33. 如果L是交换环，a∈L，

(i) 证明La={ra|r∈L}是双边理想；

(ii) 举例说明，如果L非交换，则La不一定是双边理想. 证明：

(i) 容易验证La为L的一个加法群. 任取ra∈La，l∈L，则

l(ra)=(lr)a∈La，(ra)l=r(al)=r(la)=(rl)a∈La

故La为L的一个双边理想.

(ii) 设L=M2(R)，那么L显然不是交换环，取h=，下面考察Lh是否为L的理想： 取k=，容易验证h∈Lh，hk Lh，因此Lh不是L的一个理想.

34. 设I是交换环L的一个理想，令

radI={r∈L|rn∈I对某一正整数n}，

证明radI也是一个理想.radI叫做理想I的根.

35. 设L为交换幺环，并且阶数大于1，如果L没有非平凡的理想，则L是一个域. 证明：

只要证明非零元素均可逆即可.任取a∈L，那么La和aL是L的理想，且La≠{0}，aL≠{0}，因L无平凡的理想，故此La=aL=L，因此ax=1和ya=1都有解，因而a为可逆元.

36. Q是有理数域，Mn(Q)为n阶有理系数全体矩阵环.证明无非平凡的理想(这种环称为单 环). 证明：

我们社K为Mn(Q)的非零理想，下面证明K=Mn(Q).为了证明这一点，只要证明n阶单位矩阵E∈K.记Eij为除了第i行第j列元素为1，其余元素全为0的矩阵.那么

EijEst=

而E=E11+E22+…+Enn.我们只要证明Eii∈K(i=1,2,…,n)就有E∈K.

设A∈K，且A≠0，又令A=(aij)n×n,假设akj≠0，则有EikAEji=akjEii(i=1,2,…,n).由于akj≠0，故存在逆元akj-1.设B= akj-1Eii,则

BEikAEji= akj-1EiiEikAEji= akj-1EikAEji=EikEkjEji=Eii.

因为K为理想，A∈K，所以Eii=BEikAEji∈K，证毕.

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37. 设L为一环，a为L中一非零元素.如果有一非零元素b使aba=0，证明a是一个左零 因子或一右零因子. 证明：

若ab=0，则a为左零因子；若ab≠0，则aba=(ab)a=0，故ab为右零因子.

38. 环中元素x称为一幂零元素，如果有一正整数n使xn=0，设a为幺环中的一幂零元素， 证明1-a可逆.

证明：设an=0，那么

(1+a+a2+…+an-1)(1-a) =(1-a) (1+a+a2+…+an-1) =1-an=1

因此1-a可逆.

39. 证明：在交换环中，全体幂零元素的集合是一理想. 40. 设L为有限幺环.证明由xy=1可得yx=1. 证明：

当L只有一个元素，即L={0}，亦即0=1[注]，此时显然有xy=1=xy；当L有多于一个元素时(即0≠1时)，若xy=1，y不是左零元[注],因此yL=L.又因L为有限环，所以存在z∈L，使得yz=1.

注意到(xy)z=z，x(yz)=x，所以x=z，即yx=1.

[注意]

1.幺环多于一个元素当且仅当0≠1. 2．当L有多于一个元素时(即0≠1时)，若xy=1，y不是左零元.因为若存在z≠0使得yz=0，则z=(xy)z=x(yz)=0,产生矛盾.

41. 在幺环中，如果对元素a有b使ab=1但ba≠1，则有无穷多个元素x，适合ax=1. (Kaplansky定理) 证明：

首先，若ab=1但ba≠1，则a至少有两个右逆元[注].

现在假设a只有n(>1)个右逆元，并设这些元素为xi(i=1,2,…,n).那么

a(1-xia+x1)=1(i=1,2,…,n),

又当i≠j时，1-xia+x1≠1-xja+x1[注]，这里i，j=1,2,…,n.于是

{xi|i=1,2,…,n}={1-xia+x1| i=1,2,…,n }，

故存在xk∈{xi|i=1,2,…,n}使得

x1=1-xka+x1,

即

xka=1.

因为n>1，我们取xt≠xk∈{xi|i=1,2,…,n}，那么

(xka)xt=xt，(xka)xt =xk(axt)=xk

因此xt=xk，产生矛盾，所以假设不成立，即a有无穷多个右逆元. [注意]

1. 若ab=1但ba≠1，则a至少有两个右逆元. 因为易验证1-ba+a就是另一个右逆元.

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2. 假设当i≠j时，1-xia+x1=1-xja+x1，则xia=xja，故xiax1=xjax1,因此xi=xj，产生矛盾. 42. 设L是一个至少有两个元素的环. 如果对于每个非零元素a∈L都有唯一的元素b使得

aba=a.

证明：

(i) L无零因子； (ii) bab=b;

(iii) L有单位元素； (iv) L是一个体. 证明：

(i) 先证明L无左零因子，假设a为L的一个左零因子，那么a≠0，且存在c≠0，使得ac=0，于是cac=0. 因a≠0，则存在唯一b使得aba=a.但

a(b+c)a=a,b+c≠b

产生矛盾，所以L无左零因子.

类似可证L无右零因子.

(ii) 因aba=a，所以abab=ab. 由(i)的结论知L无零因子，因此满足消去律，而a≠0，故bab=b.

(iii) 我们任一选取a(≠0)∈L，再设aba=a(这里b是唯一的)，首先证明ab=ba.因为

a(a2b-a+b)a=a，

所以a2b-a+b=b，即a2b=a=aba，由消去律得到ab=ba.

任取c∈L，则ac=abac，故此c=(ba)c=(ab)c；另一方面，ca=caba，故此c=c(ab).综上得到c=(ab)c=c(ab),所以ab就是单位元素，我们记ab=ba=1.

(iv) 由(iii)可知任意a(≠0)∈L，ab=ba=1，即任意非零元素都可逆，因此L成为一个体.

43. 令C[0,1]为全体定义在闭区间[0,1]上的连续函数组成的环.证明： (i) 对于的任一非平凡的理想I，一定有个实数，，使得f()=0对所有的f(x)∈I； (ii) 是一零因子当且仅当点集 {x∈[0,1]|f(x)=0} 包含一个开区间. 证明：

(i) 证明思路：设I为非零的非平凡理想，假设对任意x∈[0,1]，存在f(x)∈I使得f(x)≠0，想法构造一个g∈I可逆.

(ii) 提示：用连续函数的局部保号性.

44. 令F=Z/pZ为p个元素的域.求 (i) 环Mn(F)的元素的个数； (ii) 群GLn(F)的元素的个数.

45. 设K是一体，a，b∈K，a，b不等于0，且ab≠1.证明华罗庚恒等式：

a-(a-1+(b-1-a)-1)-1=aba.

证明：

因为a-(a-1+(b-1-a)-1)-1=aba?1-(a-1+(b-1-a)-1)-1a-1=ab?(aa-1+a(b-1-a)-1)-1=1-ab? (1+a(b-1-a)-1)-1=1-ab?(1+((ab)-1-1)-1)-1=1-ab，为了方便记x=ab，那么1-x，x，x-1-1都可逆，只要证明(1+(x-1-1)-1)-1=1-x即可，或者证明1+(x-1-1)-1=(1-x)-1即可. 因为

1+(x-1-1)-1=1+(x-1-x-1x)-1=1+(1-x)-1x=(1-x)-1(1-x) +(1-x)-1x=(1-x)-1,

所以结论成立，即a-(a-1+(b-1-a)-1)-1=aba.

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