习 题
路程的长度：s?4?4?16?24 (m)。 路径示意图如右图。
2.7 一质点作直线运动，其运动方程为x?12t?6t2，其中t以s为单位，x以m为单位，求：（1）t?4 s时，质点的位置、速度和加速度；（2）质点通过原点时的速度；（3）质点速度为零时的位置；（4）作出x?t图，v?t图和a? t图． 解：由x?12t?6t2得，速度v?dx?12?12t，加速度a?dv??12。所以，
dtdt
5
（1）x|t?4?12?4?6?42??48 (m)，
2
v|t?4?12?12?4??36 (m/s)，a|t?4??12 (m/s)。
（2）质点通过原点时，即x?12t?6t2?0，得x?0 s或2 s。
v|t?0?12?12?0?12 (m/s); v|t?2?12?12?2??12 (m/s)。
（3）质点速度为零时，即v?12?12t?0得，t?1 s。 此时，位置x?12?6?6 (m)。 （4）x-t, v-t, a-t图。如下图所示。 图2-4 题2.7
xm6420.5-2-4-6-811.522.5?v/ms12-1a/ms-2? 60123t/s01-6-1223t/s-12（4）图。
2.8 一气球自地面以常速度v上升，在距离放出点为R处用望远镜对气球进行观测，求望远镜观测气球的仰角?随时间t的函数，并求出?随时间的变化率． 解：由题意得，??arctand?dt?vtR。
v/RvR。 ?222vt2R?vt1?()R速度v=t3+3t2+2 (SI单位)，如果当 t ?2 s时，质点位于x?4 m处，求t ?3 2.9 一质点沿直线运动，
s时质点的位置、速度和加速度。( 答案：41.25m,56 m?s?1,45 m?s?2) 解：由v?t?3t?2得，位置x?32?t0vdt?t44， ?t?2t?c（c为常数）
3加速度a?dvdt2?3t?6t。
又t?2 s时，x?4 m，于是 c??12。所以x?t43?t?2t?12。
4
习 题 6
因此，x|t?3?343?3?2?3?12?41.25 (m)，
432v|t?3?3?3?3?2?56 (m/s)，
22a|t?3?3?3?6?45 (m/s)。
2.10 已知质点的运动方程 x?ππ3cost； y?sint
44式中t以s为单位，x以m为单位。求：(1) 质点的轨道方程；(2) 质点的速度和加速度表达式；(3) t ?1s时，质点的位置、速度和加速度。 解：（1）r?x?y22?3cos2?4t?sin2?4t?2cos2?4t?1
或 x?3cos22?4t?3(1?sin2?4t)?3(1?y)，即
2x23?y?1。
2（2）由运动方程得，速度：vx??3?1623?4sin?4t，vy?2?4cos?4t；
加速度：ax??cos?4t，ay???16sin?4t。
（3）t?1 s时，位置：x?62，y?22；
速度：vx??68?，vy?28?；
加速度：ax??6322?，ay??2322?。
在高度为14.7m处，观察到它的速度v=(?3.98i +9.8j) m?s?1(x2.11 某人从地面向空中抛出一球，
轴沿水平方向,y轴沿竖直向上方向)。当忽略空气阻力时，求(1)球可以上升的总高度；(2)球所经过的总的水平距离；(3)球落地时速度的大小和方向。 (答案：(1)19.6m;(2)15.9m;(3)20.0 m?s?1,与x轴夹角?78.5?) 解：(1)令质点处在高度14.7 m时刻为t?0时刻，由题意得，
vx0??3.98 (m/s)，vy0?9.8 (m/s)。
忽略空气阻力，质点在水平方向上做匀速运动，竖直方向上做竖直上抛运动。
习 题 7
从14.7 m高处继续上升的高度y?vy02g2?9.822?9.8?4.9 (m)，
所以，球可以上升的总高度为 H?14.7?4.9?19.6 (m)。 （2）质点处于地面时，速度在竖直方向上的分量：vy?球从地面上升到最高点所需的时间：t?vyg?2 (s)。
2gH?19.6 (m/s)。
因此，球在整个上升和下降过程中所经过的总的水平距离：
X?2?vx0t??15.92 (m)，负号表示沿x轴负方向。
（3）忽略空气阻力，球下降到地面时，水平方向的速度不变，竖直方向的速度大小不变，方向为垂直向下。因此， 速度v?vx0?vy?2222(?3.98)?19.6?20.0 (m/s)，
与水平方向的夹角??arctanvyvx0?arctan19.6?3.98??78.52?。
?1
的仰角由投射器射出，同时位于x0=60 m处2.12 一弹丸以v1=100 m?s的初速从原点以?1?30°
的投射器将另一弹丸以v2=80 m?s?1的初速射出，其仰角?2为何值时可望与第一弹丸相碰？求出相碰的时间和位置。
解：第一种情况，如右图（a）所示，
两弹丸相向发射，在上升过程中相遇。 根据题意有，
v1x?v1cos?1?503 (m/s) （1）
v1y?v1sin?1?50 (m/s) （2）
(a) v?100m/s1 ?2 v2?80m/s ?1=30° 60m x (b) v?100m/s1 v2?80m/s ?1=30° v2x?v2cos?2?80cos?2 (m/s) （3） v2y?v2sin?2?80sin?2 (m/s) （4）
?2 x 60m 图2-5 题2-12图 相遇时，两弹丸上升的高度相等，水平距离之和为60m，即： y1?y2?y，即：v1yt?12gt2?v2yt?122gt （5）
x1?x2?60，即：v1xt?v2xt?60 （6）
把（1）-（4）式代入（5）（6）式得，
习 题 8
?2?38.7?，t?0.4025 (s)，y?19.2 (m)。
第二种情况，如右图（b）所示，
两弹丸都向右上方发射，在上升过程中相遇。
相遇时，两弹丸上升的高度相等，水平距离之差为60m，即： y1?y2?y，即：v1yt?12gt2?v2yt?122gt （5）
x1?x2?60，即：v1xt?v2xt?60 （7）
把（1）-（4）式代入（5）（7）式得，
?2?38.7?，t?2.48 (s)，y?93.25 (m)。
2.13 一人骑摩托车跳跃一个大矿坑,他以与水平面成22.5?角的初速度65 m?s?1从西边起跳,准确地落在坑的东边.已知东边比西边低70m,忽略空气阻力,求:(1) 矿坑有多宽?他飞越的时间有多长?(2)他在东边落地时的速度有多大?速度与水平面的夹角是多少? ( 答案：(1)426m,7.1s (2)74.9 m?s?1,?36.6?)
解：（1）建立坐标系（x轴水平向右，y轴竖直向上）。由题意知，
vx?vcos??65cos22.5??60.05 (m/s)， vy?vsin??65sin22.5??24.87 (m/s)。
上升的高度h上?vy22g?31.6 (m/s)，上升时间t上?vyg?2.54 (s)。
下降的总高度h下?70?31.6 (m)，下降时间t下?2h下g?4.55 (s)。
所以，矿坑的宽度X?vx(t上?t下)?60.05?（2.54?4.55）?425.75 (m)。 （2）落地时，水平方向的速度不变vx?60.05 (m/s)；
竖直方向v'y??gt下??9.8?4.55??44.59 (m/s)，负号表示与正方向相反。 因此，速度v?vx?vy?2'260.05?44.59vyvx'22?74.79 (m/s)， ??36.6?。
与水平方向的夹角??arctan?arctan?44.5960.052.14一电子在电场中的运动方程为x?2t，y?19?2t2（SI）．求：（1）计算并图示电子的运动轨迹；（2）电子的速度和加速度；（3）什么时刻电子的位矢与速度恰好垂直？写出此时位矢；（4）何时电子离原点最近？最小距离为多少？