习 题

解：建立坐标系（x轴水平向右，y轴竖直向上），以下个物理量单位均为SI。 （1）由x?2t，y?19?2t2得，y?19?（2）vx?dxdtdvxdt?2，vy?dydt122x。运动轨迹如图2-6所示。

9

???，即：??4tv?2i?4tj；图2-6 题2.14图

yax??0，ay?dvydt??，即：??4a??4j。

1816??????2（3）r?2ti?(19?2t)j，v?2i?4tj。

?????? r?v时有，r?v?0，把r和v表达式代入得，t?0和3。

??时，t?0 r?19j；

14123???时， t?3r?6i?j。

（4）电子离原点的距离

?r?x?y22?(2t)?(19?2t)?2224(t?81)?37?2237，

当t?9 s时取“?”，最小距离为37（m）。

2.15 已知质点的运动方程：x?rcos?t，y?rsin?t，z?ct，其中r，?，c均为常量，试求：（1）质点作什么运动？（2）质点的速度、加速度；（3）运动方程的矢量形式。 解：建立坐标系（x轴水平向右，y轴竖直向上，z轴垂直纸面向外） （1）由x?rcoswt，y?rsinwt，z?ct得，

222x?y?r。

所以，质点做螺旋圆周运动。 （2）质点的速度：

vx?dxdt??wrsinwt，vy?dydt?wrcoswt，vz?dzdt?c，

即：v?(?wrsinwt)i?(wrcoswt)j?ck。 质点的加速度：

ax?dvxdt??wrcoswt，ay?2????dvydt2??wrsinwt，az?dazdt?0，

即：a?(?w2rcoswt)i?(?w2rsinwt)j （3）运动方程的矢量形式：

???

习 题

????r?(rcoswt)i?(rsinwt)j?(ct)k

10

2.16 质点沿直线运动,加速度a=4?t2 (SI单位),如果当t ?3 s时,质点位于x?9 m处,v=2 m?s?1,求质点的运动方程。 (答案：x?2t2?1124t?t?0.75)

解：以下物理量均为SI。

已知a?4?t2，所以

tv??0adt?4t?t33t?c1 （1）

4x??vdt0t?2t?212?c1t?c2 （2）

把限制条件t?3时，v?2 m/s和x?9 m代入（1）（2）式得：c1??1，c2?0.75。 所以，质点的运动方程为： x??t42?2t?t?0.75 (SI)。

12，物体在x?0处的速度为2.17 一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a?2?6x（SI）10 m?s?1，求物体的速度和位置的关系。 解：以下物理量单位均为SI。

已知a?2?6x。

dvdxdv由a?dv?得， ?vdtdxdtdxadx?vdv，即：(2?6x)dx?vdv，

两边积分得， 2x?3x?c?2v22，其中c为常数。

代入初始条件，x?0时v?10得，c?50。 所以，速度和位置的关系为：

22v?6x?4x?100。

2.18 人在静水中划行小船，当速度为v0时不再划行，已知此后小船运动规律为a=?kv，k为常量．试证明船速的衰减规律为v=v0ekt。 解：由题意知，a??kv?dvdt。

习 题

所以，?kdt?dvv11

。

上式两边积分得，?kt?c?lnv（c为常数）。 代入初始条件，t?0时v?v0得，c?lnv0。 所以，v?v0e?kt，得证。

2.19 一质点由静止开始作直线运动,初始加速度为a0,以后加速度均匀增加,每经过时间? 增加a0,求经过时间t后质点的速度和运动的距离. (答案：v?a0t?a02?2t,x?a02t?2a06?3t)

解：已知：初始加速度为a0，加加速度??a0?，初始速度v0?0，初始位置x0?0。

t。

所以，加速度与时间的关系为：a?a0?因而， 速度 v?即：v?a02?a0??2t0adt?a0t?a02?t?c1，代入初始速度得c1?0。

2t?a0t。

位移 x??t0vdt?a06tt?3a022。 t（已考虑初始条件）

2.20 位于原点的粒子在t?0时由静止开始沿x轴正方向运动,如果其加速度为a=a0e?bt,( a0和b是常量),求(1) 粒子运动的最大速度vmax;(2)粒子的运动方程。(答案：(1) vmax=(2)x?a0b[t?1b(1?e?bta0b;

)])

解：已知：a?a0e?bt，v0?0，x0?0。 （1）速度：v?e?bt?t0adt?a0b(1?e?bt?bt。 )（已考虑初始条件）

?0，在t??时，ea0b?0。

所以，vmax?。

（2）运动方程：x? ??t0vdt?t?a0b2?ta0b0(1?e?bt)dt

a0b(e?bt。 ?1)（注意考虑初始条件）

曲线ABC为抛物线的一部分，是一个作直线运动的质点的位置随时间变化的2.21 图2-28中，

关系曲线．曲线在A点处切线与x轴夹角为45°．写出质点的运动方程并画出其vt曲线和xt曲线。

习 题 12

解：根据图可设质点的运动方程为：x?a(t?1)2?c （1）（其中常数a?0， c?0）。

速度：v?dxdt。 ?2a(t?1) （2）

由图知，t?0时，v?tan45??1，

t?2.5时，x?0。

1298代入（1）（2）式得a??，c?。

图2-28 习题2.21示意图

因而，质点的运动方程为：

x??12(t?1)?298。

v?1?t。

x-t和v-t曲线如图2-7所示。

xm1?0.5vms1??0.511.522.530.50.80.60.40.2?11.522.53?-0.5-1-1.5-2图2-7 题2.21图

2.22 1）图2-29（a）中给出了4个v?t图，请分别求出在第4 s末各运动物体距原点的位移及所走的路程；（2）在直线公路上行使的两汽车的v?t曲线如图2-29（b）所示，试分析两者运动的异同，图上三个点O、Q、P表示的意义，写出各自的运动方程；（3）已知作直线运动物体的a?t曲线如图2-29（c）所示，设t=0时x=0，v0=0，试画出v?t曲线和x?t曲线。

图2-29 习题2.22示意图

解：（1）图（a）的第一个图，位移?r1?4?5?20 (m),路程?s1??r1?20 (m)。