习 题 17

角速度wr?dr?dt10cos(?10t)61.32?sin2(??6，

?10t)角加速度?r?dwr?dt?100sin(?6?10t)1.32?sin2(?650cos(?10t)sin(?20t)63?

[1.32?sin2(???10t)?6?10t)]3?100sin( ??6?10t)100cos2(??6?10t)sin(?6?10t)

1.32?sin2(?6?10t)[1.32?sin2(?6?10t)]3?69sin( ??6?10t)[1.32?sin2(?6。

?10t)]32.28 一质点作半径为0.2m的圆周运动,其切向加速度大小恒为0.05m?s?2,若该质点由静止开始运动,求需要多少时间(1)切向加速度大小等于法向加速度大小;(2)法向加速度大小等于切向加速度大小的二倍.(答案：(1)2.0s;(2)2.8s)

解：已知：r?0.2m，at?0.05 m?s?2，v0?0m?s?1。

所以，速度v?v0?att?0.05t m?s?1,

v20.05t2m?s?1。 法向加速度an??r40.05t2（1）切线加速度与法向加速度相等时，有?0.05，解得t?2s。

40.05t2 法向加速度是切线加速度的两倍时， （2）有解得t?22?2.82 s。?2?0.05，

42.29 旋转齿轮测光速．历史上测量光速的一个著名实验方法是旋转齿轮法．一束光线通过匀速旋转齿轮边缘的齿孔到达远处的镜面反射以后又回到齿轮上来，调整齿轮旋转角速度使反射光恰好经过下一个齿孔返回．设齿轮边缘的齿孔数目为500个，当反射镜与齿轮相距500 m时测得光速为3.0×10 m?s?．试求齿轮旋转的角速度和齿轮边缘上一点的线速度和线加速度。 解：已知：光速c?3.0?108m/s，s?500?2m，???8

1

2??（rad）。 ?500250习 题 18

s10310?5 s。 所以，?t???v3?1083于是，角速度w???， ?1.2??103 （rad/s）

?t线速度v?wr??，（齿轮半径不知） 线加速度a??v??。 ?t2.30 某人在静水中的划船速度是1.10m?s?1,当他要以最短的划船距离横渡一宽为4000m,水流速度为0.55m?s?1的江面时,应如何确定划行方向?到达对岸需要多少时间?

解:设水流相对于岸的速度为u,船相对于水的速度为v?,江面宽为D,船相对于岸的速度为v,由速度变换式

v ?u? v?

如图2?9所示,船要到达正对岸,划行方向应偏向上游?,则

??arcsinu0.5530? ?arcsin?v?1.10

图2-9 题2-30速度合成示意图

船到达对岸所需的时间为

DDt???4199s?1.17h

vv?cos?m?s?1时,感觉到风是从东北吹向西南,求风向与风速. (答案： 西北风, 2.12 m?s?1 )

解：建立坐标系（x轴正方向水平向右，y轴正方向垂直向上）。

2.31 一人以1.5 m?s?1的速率向东行走时感觉到风从北吹向南,当他的行走速率加快到3.0

令人行走的速度为u，风速为v，与人行走的方向成?角，则

?????。 v?vcos?i?vsin?j（m/s）

由速度变换公式可知，人感觉到的风速为

???v'?v?u。

????把人行走的速度u1?1.5i（m/s），u2?3.0i（m/s）代入得，

??v1'?(vcos??1.5)i?vsin?j，向南， ???v2'?(vcos??3.0)i?vsin?j，向西南。

所以，vcos??1.5?0，vsin??0；

vcos??3.0?vsin?。

解上述方程得，v?1.52?2.12 （m/s）, ????4（即西北风）。

习 题

2.32 一条河宽度为l,河水流速与离岸的距离成正比,设中心流速最大为vm,两岸边处流速为零,如图所示.一艘船以恒定的相对速度v垂直水流从岸边驶向对岸,当它驶至河宽的燃料不足,立即掉头以相对速度地点. (答案：x?

解：由题意知，水流速度v'?19

1处时发现41v垂直水流驶回原岸,求船驶往对岸时的轨迹和返回原岸的2vm23lvm) y,x?lv16v?2vmax?yi。 l（1）驶往对岸时，

根据速度变换，船相对岸的速度为

???2vm??v?v'?u?yi?vj。

l所以，

dx2vmdy?y，vy??v。 dtldtv2由上两式可得，x?my。

lvdx2vmdyv（2）返回原岸时，有vx??y，vy???。

dtldt2lvl考虑约束条件y?时，x?m。解得，

416vvx?vml2vm2l2x??(y?)。

16vlv16返回原岸时，y?0求得x?3vml。 16v2.33 两物体同时沿不同的方向以不同的速度被抛出。试证：在此后运动中它们的相对速度在数值上及方向上都固定不变。

解：以下物理量的单位均为SI，建立坐标系（x轴正方向水平向右，y轴正方向垂直向上）。

设两物体抛出的初速度分别为v0和v0'，与水平方向的夹角分别为?和?'，则， 物体1的速度v1?(v0cos?)i?(v0sin??gt)j， 物体2的速度v2?(v0'cos?')i?(v0'sin?'?gt)j， 两物体的相对速度

???????????v'?v1?v2?(v0cos??v0'cos?')i?[v0sin??gt?(v0'sin?'?gt)]j ???(v0cos??v0'cos?')i?(v0sin??v0'sin?')j，恒量。

得证。

习 题

2.34 一舰艇正以17 m/s的速度向东行驶，有一架直升机准备降落在艇的甲板上。海上有12m/s的北风吹着。若艇上的海员看到直升机以5 m/s的速度垂直下降，试求直升机相对于海水以及相对于空气的速度。

解：建立坐标系（x轴正方向水平向右，y轴正方向垂直向上）。

20

????以海水为参考系，u船?17i（m/s），u风??12j（m/s）。

以船为参考系，v'。 飞机??5j（m/s）由速度变换得，

飞机相对于海水的速度 v， 飞机?v'飞机?u船?17i?5j（m/s）

???????????????（?12j）?17i?7j（m/s）飞机相对于空气的速度 v\飞机?v。 飞机?u风?17i?5j?2.35 三个质点处于边长为l的等边三角形的三个顶点上，A相对于B和B相对于C以及C

相对于A的相对速度的大小都为v，且同时开始运动，则经多长时间三个质点相聚？ 解：

如右图（以水平向右为x轴正向，垂直向上为y轴正向建立坐标系）。处于A、B、C三点的三个质点都往中心O运动。 根据等边三角形的性质， C 23l。 AO?BO?CO??l?323要它们相聚，必有它们的速率相等。

令它们的速率为u，且速度两两之间的夹角为2π/3。 因此两两相对速度的大小为：3u。 所以，u?A 图2-9 题 2.35图 O B v。 3相聚的时间t?AOl?。 vu2.36 在一根以恒定角速度w绕其一端点O在水平面内旋转的细棒上，一蚂蚁t=0开始从O

点以恒定速率u沿棒向外爬行。求蚂蚁的速度和加速度。 解：

如右图（以水平向右为x轴正向，垂直向上为y轴正向建立坐标系）。令棒的初始位置在x轴上，然后逆时针旋转。根据题意有，

v2 蚂蚁相对棒的速度为：

???u?ucos?i?usin?j，其中??wt。

蚂蚁所在位置棒上质点相对水平面的速度为：

v1 ? ???v??wrsin?i?wrcos?j，其中r?ut。

所以，蚂蚁对水平面的速度为：

?????V?v?u?(ucos??wrsin?)i?(usin??wrcos?)j