习 题

N29

?2?1MmFf2f1FN'f1

?M?m?gmg

解：对m受力分析可得：N'?mg f1??2N'?mam am??2g

对M受力分析可得：N??M?m?g F?f1?f2?MaM 解得：F?f1?f2?MaM??2mg??1?M?m?g?MaM 若要将木块抽出需aM?am 即F???1??2??M?m?g

3.22 在光滑水平面上固定有一半径为R的圆环形围屏，质量为m的滑块沿环形内壁滑动，

滑块与壁间摩擦系数为?．求：（1）当滑块速度为v 时，它与壁间的摩擦力及滑块的切向加速度；（2）滑块的速率由v 变为 v/3 所需的时间．

mR?

解： （1）法向：N?F?mvR22o

切向：f??N??ma

2 联立解得：f??mvR a???vR

（2）由 dv?adt???v2Rdt

v 得 dt??R1v?v2dv t??3v?R1?v2dv?R13?vv?2R?v

3.23 质量分别为m1、m2和m3的物体通过绳和滑轮连接为如图3-33所示的系统．不计滑轮和绳的质量以及各处的摩擦力，求各物体的加速度和绳中的张力．

习 题 30

NT2T3m3mm1gT1m2m2g

m3g

解： 对三物体分别进行受力分析可得：

T1?m1a1

m2g?T2?m2a2 m3g?T3?m3a3

T1?T2?T3 T2?T3 a2??a3

解得：a1?4m2m3m1?m2?m3?g T1?m1a1?4m1m2m3m1?m2?m3?2m1m2m3g

a2??a3?m2?m3m2?m3g

T2?T3?m1?m2?m3?g

3.24 旋转水筒．有一高为h=12 cm，半径为r=6 cm的圆柱形筒，其中2/3充满水后放在转台上绕其轴线匀速转动．（1）证明圆筒内的水面是一个旋转抛物面；（2）转动的角速度达到多大时，水开始从筒内异常溢出？

（1） 以任一水面小体元为研究对象，如图进行受力分析可得： Ncos???mg Nsin???m?r

2 解得：tan???rg2 又有 tan??dzdr2

z得： dz??rg2dr z??r?rg20dr??r2g2

即证筒内水面是一个旋转抛物面

（2） 旋转抛物面内的体积 V?N???r4g24?r02?rzdr??r02?r?r2g22dr?

?mgor

V?13?rh

2rgh32

联立解得：?? 水开始从桶内溢出时r?0.06m h?0.12m

习 题 31

代入数据解得：??20.87rads?1

3.25小车在倾角为??的光滑坡面上自由下滑，求车内悬挂的摆锤悬线与竖直方向的夹角． 解： 以小车为非惯性参考系，考虑惯性力的作用，受力分析如图所示：

T?Fmg ?

水平方向：Tsin??mgsin?cos? 竖直方向：Tcos??mgsin?sin??mg

联立解得：???

3.26 如图3-34所示，升降机中质量分别为M和m的物体，通过跨过轻滑轮的不可伸长的轻绳相连．不计摩擦，当升降机以g/2（g为重力加速度）的加速度上升时，分别对升降机和地面求两个物体的加速度

NTma'?1g21??m?g?g?2??TM1??M?g?g?2??

解： 分别取水平向右和竖直向下为X轴和Y轴正方向

以升降机为非惯性参考系，考虑惯性力的作用，受力分析如图所示： 可得： T?ma??1

?g??T?Ma 联立解得：2? M?g?a?3Mg2M?m?

am?3Mg2?M?m?i aM?3Mg2?M?m?j

习 题

以地面为参考系

am??gj ?i?gj aM????gj?2?M?m?2?M?m?2?2?M?m?2?32

3Mg1?3M1?2M?m3.27 求均匀等边三角形薄板的质心

ydyo

x

33y?12a

3解： 设等边三角形的边长为a，有图可知：第一象限x??yc?1M8

??ydm?2?M3?2a0??231?2??3312??y??y?a?dy?y?ay?????32?M?94??oa

3?a33a?3?????a?2?816?63a? 根据对称性可知xc?0

36 等边三角形薄板的质心Rc?aj 即为重心的位置

3.28 如图3-35所示，在半径为R的匀质薄圆盘中偏心地挖去一半径为R/2的半圆洞，设剩下部分的质量为M，两圆心的连线OO1=R/2，求它的质心的坐标． [答案：（0，?R/14?4R/21?）]

ydyroxx

222 根据对称性可知，xc?0 x?y?r

yc?1m?ydm?2?m?r0yxdy?2?m?r0yr2?ydy?2?m?r0r2?ydy

22