2018年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛

暨2018年福建省高中数学竞赛试卷

（考试时间：2018年5月20日上午9：00—11:30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分.请直接将答案写在题中的横线上） 1.将正偶数集合?2,4,6，??从小到大按第n组有3n?2个数进行分组：

?2?,?4,6,8,10?,?12,14,16,18,20,22,24?，?，则2018位于第 组.

2.在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若a?2,b?3,C?2A，则

cosC? . 3.设复数z满足z?i?2 ，则 z?z的最大值为 .（i为虚数单位，z为复数z的共轭复数）

4.已知定义在R上的奇函数f?x?的图像关于直线x?2对称，当0?x?2时，f?x??x?1，则f??100??f??101?? .

5.从如图所示的由9个单位小方格组成的3?3方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为 .

6.如图，在三棱锥P?ABC中，?PAC,?ABC都是边长为6的等边三角形，若二面角

P?AC?B的大小为1200，则三棱锥P?ABC外接球的面积为 .

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x2y2??1的左、右焦点，点P在双曲线C上，G,I分别为7.已知F1,F2分别为双曲线C:412?F1PF2的重心、内心，若GI//x轴，则?F1PF2的外接圆半径R? . 8.最近网络上有一篇文章很火.源于一道常见题目：（见图），这貌似易解的题目，里面竟然蕴藏了深奥的大道理.

（本题不作为本次考试的试题，本次试题如下） 设a,b??2,3,4,5,6,7,8?，则

ab?的最大值为 .

10b?a10a?b

54329.已知整数系数多项式f?x??x?a1x?a2x?a3x?a4x?a5，若f?3?2?0，

?f?1??f?3??0则f??1?? . 10.已知函数f?x?满足：对任意实数x,y，都有f?x?y??f?x??f?y??6xy成立，且

?2?f?1??f??1??9，则f??? .

?3?二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程） 11.已知数列?an?的前n项和Sn满足2Sn?nan?n,n?N*，且a2?3. （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?数n的值.

an91，Tn为数列?bn?的前n项和，求使Tn?成立的最小正整

20an?1?an?1an - 2 -

?26?x2y2,1?12.已知F1,F2分别为椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点，点P?在椭圆C??ab?3??265?上，且?F1PF2的垂心为P??3,?3??.

??（1）求椭圆C的方程；

（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F2的直线l交椭圆C于D,E两点，记直线AD,AE的斜

率分别为k1,k2，若k1?k2??1，求直线l的方程. 213.如图，在锐角?ABC中，D,E是边BC上的点，?ABC,?ABD,?ADC的外心分别为

O,P,Q.

证明：（1）?APQ∽?ABC； （2）若EO?PQ，则QO?PE.

14.已知f?x??e?mx.

x（1）若x?0时，不等式?x?2?f?x??mx?2?0恒成立，求实数m的取值范围；

2（2）若x1,x2是函数f?x?的两个零点，求证：x1?x2?2.

15.设M是由有限个正整数构成的集合，且M?A1?A2???A20?B1?B2???B20，这里Ai??,Bi??,i?1,2,?20，并对任意的1?i?j?20，都有Ai?Aj??，Bi?Bj??. 已知对任意的1?i?20,1?j?20，若Ai?Bj??，则Ai?Bj?18，求集合M的元素个数的最小值.（这里，X表示集合X的元素个数）

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