?9911 ?，?2n?1?100，?n?22n?110?使得Tn?

9成立的最小正整数n的值为50． 2012.解：设F1PF2的垂心为?1??c,0?,F2?c,0?．由?F?265??3,?3??，得F1H?PF2． ???kF1H?kPF2512453????1,?c2?，解得c2?1．

932626?c?c33?由点P??26?24122222C??1,1a?b?c?1在椭圆上，得．结合，解得 a?4,b?3．?22?3?9ab??x2y2?1． ?椭圆C的方程为?43（2）由（1），知A??2,0?,F2?1,0?

若l斜率不存在，则由对称性，k1?k2?0，不符合要求 若l斜率存在，设为k，则l的方程为y?k?x?1?

?y?k?x?1??2222由?x2y2，得?4k?3?x?8kx?4k?12?0??①

?1???438k24k2?12,x1?x2?设D?x1,y1?,E?x2,y2?，则x1?x2? 224k?34k?3?k1?k2?k?x1?1?k?x2?1??y1y33??2???k?1??1?? x1?2x2?2x1?2x2?2x2?2??x1?2?3?x1?x2?4???2k2?1?1?k??2??k?2??? ???2x?2x?2kk??2??????1又k1?k2??

13.解：（1）连结PD,QD

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1，因此k?2，直线l的方程为：y?2?x?1?，即2x?y?2?0． 2

?P,Q分别为?ABD，?ADC的外心， ?PQ为线段的AD垂直平分线． 1??APQ=?APD??ABD??ABC，

21??AQP=?AQD??ACD??ACB．

2??APQ∽?ABC．

（2）连结OA,OB,OP,PB,QC，延长OQ与AC相交于点F，由O,P,Q分别为

?ABC,?ABD,?ADC的外心，知OP,OQ,PQ分别是线段AB,AC,AD的垂直平分线．

??APB??APD??PBD?2??ABD??BAD??2?ADC??AQC．

又?OBP??OAP,?AQF?11?AQC??APB??AQC， 22?A,P,O,Q四点共圆，?OAP??OQP．

又EO?PQ，DA?PQ，?EO//DA，?OEC??ADC?1?APB??BPO 2?P,B,E,O四点共圆，?OEP??OBP．

设EO,QO的延长线分别与PQ,PE相交于M,N，则?OEP??OBP??OAP??OQP

?M,N,E,Q四点共圆，

又QO?PQ??QNE??QME?90

0?QO?PE．

14.解：（1）设g?x???x?2?f?x??mx?2，则g?x???x?2?e?2mx?2

2xx?0时，不等式?x?2?f?x??mx2?2?0恒成立?x?0时，g?x??0恒成立．

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?g??x??ex??x?2?ex?2m??x?1?ex?2m，g???x??ex??x?1?ex?xex

?x?0时，g???x??xex?0，g??x???x?1?ex?2m在区间?0,???上为增函数．

另由g?2??4m?2?0，知m??① 若?1． 211?m?，则g??0????1?2m,g??2??e2?2m?0 22此时，g??x?在区间?0,2?内有唯一零点，设为x0，则0?x?x0时，g??x??0

11?g?x?在区间?0,x0?上为减函数，g?x0??g?0??0．因此，??m?不符合要求．

221② 若m?，则x?0时，g??x??g??0???1?2m?0，此时，g?x?在?0,???上为增函

2数．

?x?0时，g?x??g?0??0．因此，m?由①、②，得m的取值范围为?,???．

1符合要求． 2?1?2??（2）?x1,x2是函数f?x??e?mx的两个零点，

x?ex1?mx1,ex2?mx2,m?x1?x2??ex1?ex2，m?x1?x2??ex1?ex2．

不妨设x1?x2，易知m?0，联立上述两式，消m，得

x1?x2??x1?x2??ex1?ex2?ex1?ex2??x1?x2??ex?x12?1?ex1?x2?1

又由（1）知，对m?1x，当x?0时，g?x???x?2?e?2mx?2?0恒成立． 2?当x?0时，?x?2?ex?x?2?0恒成立．

xxex?x?2ex?2?x?2?e??x?2??2???0． ?当x?0时，xxx?e?1??e?1??e?1?x?ex?1??x1?x2?2??x1?x2??ex?x12?1?ex1?x2?1?2?0，x1?x2?2；

当x1?x2时，同理可得：x1?x2?2，?x1?x2?2． 15. 解：记minA1,A2,?A20,B1,B2,?B20???t

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不妨设A1?t,Ai?Bi??,i?1,2,?k；Ai?Bj??,j?k?1,k?2,?20． 设ai?A1?Bi??，i?1,2,?k．

?对任意的1?i?j?20，都有Bi?Bj??， ?a1,a2,?ak互不相同，A1?k，即t?k．

?对任意的1?i?20,1?j?20，若Ai?Bj??，则Ai?Bj?18， ?当j=k?1,k?2,?20时，A1?Bj?A1?Bj?18

即当j=k?1,k?2,?20时，Bj?18?t．

?M?B1?B2???B20?B1?B1???Bk?Bk?1???B20?kt??20?k??18?t??360?2kt?18k?20t?180?2?k?10??t?9?

若t?9，则k?t?9，?M?180?2?k?10??t?9??180 若t?10，则M?20t?200

?总有M?180

另一方面，取Ai?Bi??9?i?1??1,9?i?1??2,?,9?i?1??9?,i?1,2,?,20，则M?A1?A2???A20?B1?B2???B20??1,2,?,180?符合要求． 此时，M?180．

综上所述，集合M的元素个数的最小值为180．

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