6个解答题专项强化练(五) 函 数
1．已知函数f(x)＝x|2a－x|＋2x，a∈R.
(1)若a＝0，判断函数y＝f(x)的奇偶性，并加以证明； (2)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；
(3)若存在实数a∈[－2,2]，使得关于x的方程f(x)－tf(2a)＝0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．
解：(1)函数y＝f(x)为奇函数． 证明如下：
当a＝0时，f(x)＝x|x|＋2x， 所以f(－x)＝－x|x|－2x＝－f(x)， 所以函数y＝f(x)为奇函数．
?x2＋?2－2a?x，x≥2a，?
(2)f(x)＝?2
?－x＋?2＋2a?x，x<2a，?
当x≥2a时，y＝f(x)的对称轴为x＝a－1； 当x＜2a时，y＝f(x)的对称轴为x＝a＋1， 所以当a－1≤2a≤a＋1时，f(x)在R上是增函数， 即－1≤a≤1时，函数f(x)在R上是增函数．
(3)方程f(x)－tf(2a)＝0的解即为方程f(x)＝tf(2a)的解． ①当－1≤a≤1时，函数f(x)在R上是增函数，
所以关于x的方程f(x)＝tf(2a)不可能有三个不相等的实数根． ②当a＞1时，即2a＞a＋1＞a－1，
所以f(x)在(－∞，a＋1)上单调递增，在(a＋1,2a)上单调递减，在(2a，＋∞)上单调递增，
所以当f(2a)＜tf(2a)＜f(a＋1)时，关于x的方程f(x)＝tf(2a)有三个不相等的实数根， 即4a＜t·4a＜(a＋1)2，
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a＋＋2?. 因为a＞1，所以1 a＋a＋2?(a>1)， 设h(a)＝??4? 因为存在a∈[－2,2]，使得关于x的方程f(x)＝tf(2a)有三个不相等的实数根， 所以1＜t＜h(a)max. 11 a＋a＋2?在(1,2]上单调递增， 又可证h(a)＝??4?9 所以h(a)max＝h(2)＝， 8 9 所以1＜t＜. 8 ③当a＜－1时，即2a＜a－1＜a＋1， 所以f(x)在(－∞，2a)上单调递增，在(2a，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增， 所以当f(a－1)＜tf(2a)＜f(2a)时，关于x的方程f(x)＝tf(2a)有三个不相等的实数根， 即－(a－1)2＜t·4a＜4a， 11 a＋a－2?， 因为a＜－1，所以1 a＋－2?， 设g(a)＝－??4?a 因为存在a∈[－2,2]，使得关于x的方程f(x)＝tf(2a)有三个不相等的实数根， 所以1＜t＜g(a)max， 11 a＋a－2?在[－2，－1)上单调递减， 又可证g(a)＝－??4?99 所以g(a)max＝，所以1＜t＜. 889 1，?. 综上，实数t的取值范围为??8? 2．已知函数f(x)＝aln x－bx3，其中a，b为实数，b≠0，e为自然对数的底数，e＝2.718 28…. (1)当a<0，b＝－1时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最大值； a (2)若关于x 的方程f(x)＝0在区间(1，e]上有两个不同实数解，求的取值范围． b解：(1)当b＝－1时，函数f(x)＝aln x＋x3(x>0)， a＋3xa 则f′(x)＝＋3x2＝， xx令f′(x)＝0，得x＝ 3 3aa －，因为a<0时， －>0， 33 3 所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表： x f′(x) f(x) ??3?0， －a? 3??－ 3a－ 30 ?3a?? －，＋∞? 3??＋ 极小值 3?3a?aa 所以g(a)＝f? ＝aln －－ ?－333??aaa －?－， ＝ln?3?3?3 令t(x)＝－xln x＋x， 则t′(x)＝－ln x，令t′(x)＝0，得x＝1， 且当x＝1时，t(x)有最大值1， 所以g(a)的最大值为1，此时a＝－3. (2)因为方程aln x－bx3＝0在区间(1，e]上有两个不同实数解， ax3 所以b＝在区间(1，e]上有两个不同的实数解， ln x ax3 即函数y＝b的图象与函数m(x)＝的图象有两个不同的交点， ln xx2?3ln x－1?3因为m′(x)＝，令m′(x)＝0，得x＝e， 2?ln x?所以m′(x)，m(x)随x的变化情况如下表： x m′(x) m(x) 3(1，e) － 3e 3(e，e] ＋ 0 3e 3所以当x∈(1，e)时，m(x)∈(3e，＋∞)， 3当x∈(e，e]时，m(x)∈(3e，e3]， a 结合函数图象知a，b满足的关系式为3e 即b的取值范围为(3e，e3]． 3．已知函数f(x)＝ax2－x－ln x，a∈R. 3 (1)当a＝时，求函数f(x)的最小值； 8 (2)若－1≤a≤0，证明：函数f(x)有且只有一个零点； (3)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围． 33 解：(1)当a＝时，f(x)＝x2－x－ln x(x>0)， 8831?3x＋2??x－2? 所以f′(x)＝x－1－＝， x44x令f′(x)＝0，得x＝2， 当x∈(0,2)时，f′(x)<0； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0， 所以函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增. 1 所以当x＝2时，f(x)有最小值f(2)＝－－ln 2. 2