证明数列不等式作为高考题的压轴题，综合性强，难度较大，是区分度较大的一道题目。证明数列不等式的方法除了放缩法、利用单调性和数学归纳法证明之外，下面重点介绍利用绝对值不等式、作差证明数列不等式、作商证明数列不等式。

1、利用绝对值不等式a?b?a?b?a?b 设数列?an?满足|an?an?1|?1， 2（Ⅰ）求证：|an|?2n?1(|a1|?2)(n?N*)

3（Ⅱ）若|an|?()n，n?N*，证明：|an|?2，n?N*.

2解：（I）由an?an?11?1得an?an?1?1，故

22an2n?an?12n?1?1，n???， n2所以

a121???a1a2??a2a3??an?1an???????????1?n?1?n? n2??23?22??22?2??2?2an111 ??????21222n?1?1，

因此

an?2n?1?a1?2?．

（II）任取n???，由（I）知，对于任意m?n，

an2n???anan?1??n?n?1m22?2am??an?1an?2???n?1?n?22??2??am?1am????????m?1?m?

2???2111 ??????nn?1m?12221?n?1， 2所以

?1a?nan??n?1?m?2 m?2??2?11??n?1?m2??2m?3?????2?m?n??2 ???3??2????2n．

?4?所以对于任意m?n，均有

?3?an?2????2n．

?4?m由m的任意性得an?2． ① 否则，存在n0??，有an0?2，取正整数m0?log34?an0?22n0且m0?n0，则

?3?2????4?m0m0?3??2????4?n0log34an0?22n0?an0?2，

与①式矛盾．

综上所述，对于任意n???，均有an?2． 2、利用作差法 已知函数f(x)＝ax＋y＝x?1．

（1）用a表示出b，c；

（2）若f(x)…lnx在[1，??)上恒成立，求a的取值范围；

n111(n…1)． （3）证明：1???…＋?ln(n?1)?2(n?1)n23b）处的切线方程为?c(a?0)的图象在点（1，f（1）

x解：（1）f?(x)=a－

?f(1)?a?b?c?0b，则有， ?2x?f?(1)?a?b?1?b?a?1解得?（步骤1）

?c?1?2aa?1+1－2a（步骤2） xa?1令g(x)?f(x)?ln(x)= ax++1－2a?lnx，x∈[1，+∞]，

x（2）由（1）知，f（x）=ax+

a?11ax?x?(a?1)－==22xxxx21?a11）当0

a21?a若1＜x＜，则g?(x)<0，所以g(x)

a2a(x?1)(x?则g(1)=0，g?(x)= a－

1?a)a（步骤2）

故f（x）…㏑x在[1，+∞）上不恒成立.（步骤3）

1?a12）当a…时，则g?(x)>0,g(x)是增函数，所以g(x)>g(1)=0,?1,若x?1，

2a即f(x)>lnx.

?1?故当x…1时，f(x)…lnx.综上所述，所求a的取值范围是?,+??.（步骤3）

2??k?111113）.当a…时，有f(x)…lnx(x…1)，令a=,有f(x)= (x?)…lnx,令x=，

k222x有ln

k?11?k?1k?1??1??1??＜???1??1??????即 ?k2?kk?1?2kk?1???????1?11?ln(k+1)?lnk＜???,k?1,2,3…n 上述n个不等式依次相加得到结果，

2?kk?1?即得到

n111(n…1)（步骤4） 1???…＞ln(n?1)?2(n?1)n233、利用作商法

例、等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n?N?，点(n,Sn)，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.

（1）求r的值；

（11）当b=2时，记 bn?2(log2an?1)(n?N) 证明：对任意的n?N? ，不等式

n?b?1b1?1b2?1·······n?n?1成立 b1b2bn解：（I）根据题意得：Sn?b?r.当n?2时，

an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1，由于b?0且b?1，所