即?x1?1??x2?1??x3?1??x4?1?的取值范围为(?4,0)． 故答案为：(?4,0)． 【点睛】
函数的零点个数或者方程根的个数问题常用数形结合的思想来解决.
四、解答题
17．已知?ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinB?3bcosA?3c. （1）求角B的大小； （2）若?ABC的面积为【答案】（1）B?【解析】 【分析】
（1）由asinB?3bcosA?3c得sinAsinB?3sinBcosA?3sinC，然后利用sinC?sin?A?B?进行化简即可
（2）由?ABC的面积为【详解】
（1）因为asinB?3bcosA?3c 所以sinAsinB?3sinBcosA?3sinC
所以sinAsinB?3sinBcosA?3sin?A?B??3sinAcosB?3sinBcosA 所以sinAsinB?3sinAcosB
因为sinA?0，所以sinB?3cosB，即tanB?3 因为B??0,??，所以B?（2）因为?ABC的面积为
73，b?43，a?c，求a，c. 4?3，（2）a?7,c?1
73得ac?7，然后再结合余弦定理求解即可. 4?3
73 4
21
所以
173，得ac?7 acsinB?24因为b?43
2所以由余弦定理得：43?a2?c2?ac??a?c??3ac 所以得a?c?8
因为a?c，所以可解得a?7,c?1 【点睛】
本题考查的是正余弦定理及三角形的面积公式，较为典型.
18．已知?an?是单调递增的等差数列，其前n项和为Sn，?bn?是各项均为正数的等比数列，若a1?1，
b1?1，S5?15，b3S2?12.
（1）求数列?an?与?bn?的通项公式；
（2）设?bn?的前n项和为Tn，若Sn???Tn?1?恒成立，求?的取值范围.
n?1n?N*；【答案】（1）an?n，bn?2（2）??
??3
. 4
【解析】 【分析】
?q2?2?d??12?（1）设数列?an?的公差为d，数列?bn?的公比为q，根据题意列出方程组?，求解即可. 5?4d?15?5?2?（2）由（1）可知，Sn?n?n?1?n?n?1?n，Tn?2?1，不等式Sn???Tn?1?变形为??，令
2n?12f?n??n?n?1??，根据单调性确定f?n?的最大值，求解?的取值范围即可. ,n?N??n?12【详解】
（1）设数列?an?的公差为d,?d?0?，数列?bn?的公比为q,?q?0?.
?b3S2?q2?2?d??12?由题意可知?，解得d?1，q=2. 5?4d?15?S5?5?2?n?1n?N*. 所以an?n，bn?2??
22
b1?1?qn?n?n?1?（2）由（1）知Sn?，Tn??2n?1
1?q2若使得Sn???Tn?1?恒成立 则需???n?n?1??n?n?1?Sn???恒成立，即?n?1? n?1Tn?12?2?maxn?n?1?? ,n?N??n?12令f?n??则f?n?1??f?n???n?1??n?2??n?n?1???n?1??2?n?，
2n?22n?12n?2当n?2时，f?n?1??f?n??0，即f?n?单调递减. 当n?1时，f?2??f?1??0 所以f?n?max?f?2??【点睛】
本题考查待定系数法求数列通项公式，以及不等式恒成立，求参数取值范围问题，属于中档题.
o19．如图在棱锥P?ABCD中，ABCD为矩形，PD?面ABCD，PB?2,?BPC?45o,?PBD?30.
2?333
??. ?，即3424
（1）在PB上是否存在一点E，使PC?面ADE，若存在确定E点位置，若不存在，请说明理由； （2）当E为PB中点时，求二面角P?AE?D的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】
uuuruuur（1）要证明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需满足DE?PC?0即可，从而得到点E为中点;（2）
3 3求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空间向量的数量积，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．
23
【详解】
（1）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需DE?PC?0即可，
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvDP?PE?PC?0?DP?PC?PE?PC?0?PE?1,即存在点E为PC中点. 所以由
??法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ， 由题意知PD＝CD＝1，
uuuvuuuvuuuvuuuvCE?2，设PE??PB， ?PE??PB??uuuvuuuvuuuvuuuvuuuuvPC?DE?PC?(DP?PE)??0,1,?1??即存在点E为PC中点.
?uuuv2,1,?1?，PC??0,1,?1?，由
?2?,?,1???0，得??
?1， 2
（2）由（1）知D?0,0,0?，A?P0,0,1? 2,0,0，E??2,2,2??，?????211?uuuvDA??uuuv?211?uuuv?211?uuuv2,0,0?，DE??PA??2,0,?1?，PE???2,2,2??， ?2,2,?2?? ????uvuuv设面ADE的法向量为n1??x1,y1,z1?，面PAE的法向量为n2??x2,y2,z2?
uvuuuv?2x1?0uv?n1?DA?0??vuuuv由的法向量为?u得，?得n1??0,1,?1?， 11??n1?DE?0?2x1?y1?z1?022?uuvn同理求得2?1,0,2
??uvuvn1?n13cos????uvuuv所以，
3n1?|n1|故所求二面角P－AE－D的余弦值为【点睛】
本题考查二面角的平面角的求法，考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能
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3. 3力．
20．武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为
1，游客之间选择意愿相互独立. 2（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；
（2）（i）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为Am，求数列?Am?的前10项和； （ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与
Bn?1之间的关系，并求数列?Bn?的通项公式.
n21?2?102321?1?【答案】（1）见解析（2）（i）（ⅱ）Bn????Bn?1??，Bn?????
32?3?102433?2?【解析】 【分析】
（1）判断出X可能取值为3，4，5，6，分别求出概率，进而求出其数学期望。 （2）（i）由题可得首项为
11，公比为的等比数列，并求其前10项和。（ⅱ）根据Bn与Bn?1之间的关系221?Bn?21?2?1Bn?1，用待定系数法得Bn????Bn?1??，进一步就可求出?Bn?的通项公式。
32?3?2【详解】
解：（1）X可能取值为3，4，5，6.
331?1?11?1?2?1?3?1?. ，，P(X?3)????，P(X?4)?C3?P(X?5)?C?P(X?6)?C?3?3??????2?8?2?8?2?8?2?8∴X的分布列为
3333X P 3 4 3 85 3 86 1 81838381?4.5 81 8∴EX?3??4??5??6?
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