因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应

用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

2222

（1）(a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b)；

222222

(2) (a±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b)；

22333322

(3) (a+b)(a-ab+b) =a+b------ a+b=(a+b)(a-ab+b)；

22333322

(4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充两个常用的公式：

2222

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

333222

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

例.已知a，b，c是?ABC的三边，且a?b?c?ab?bc?ca， 则?ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解：a?b?c?ab?bc?ca?2a?2b?2c?2ab?2bc?2ca

222222222?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0?a?b?c

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：am?an?bm?bn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=(am?an)?(bm?bn)

=a(m?n)?b(m?n) 每组之间还有公因式！

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=(m?n)(a?b)

例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=(2ax?10ay)?(5by?bx) 原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by) =2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b) =(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y) 练习：分解因式1、a?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1 （二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：x2?y2?ax?ay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=(x2?y2)?(ax?ay) =(x?y)(x?y)?a(x?y) =(x?y)(x?y?a) 例4、分解因式：a?2ab?b?c 解：原式=(a2?2ab?b2)?c2 =(a?b)2?c2

=(a?b?c)(a?b?c)

练习：分解因式3、x?x?9y?3y 4、x?y?z?2yz

3223综合练习：（1）x?xy?xy?y （2）ax?bx?bx?ax?a?b 222（3）x?6xy?9y?16a?8a?1 （4）a?6ab?12b?9b?4a 2222（5）a?2a?a?9 （6）4ax?4ay?bx?by 22（7）x?2xy?xz?yz?y （8）a?2a?b?2b?2ab?1

224322222222222222（9）y(y?2)?(m?1)(m?1) （10）(a?c)(a?c)?b(b?2a)

a?b?c?3abc （11）（12）a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?2abc四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

2333思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x?3x?a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.

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2解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求??b2?4ac >0而且是一个完全平方数。 于是??9?8a为完全平方数，a?1

2例5、分解因式：x?5x?6

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2 解：x?5x?6=x2?(2?3)x?2?3 1 3 =(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。 例6、分解因式：x?7x?6

解：原式=x2?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6) 1 -1

=(x?1)(x?6) 1 -6

（-1）+（-6）= -7 练习5、分解因式(1)x?14x?24 (2)a?15a?36 (3)x?4x?5 练习6、分解因式(1)x?x?2 (2)y2?2y?15 (3)x?10x?24 （二）二次项系数不为1的二次三项式——ax?bx?c 条件：（1）a?a1a2 a1 c1

（2）c?c1c2 a2 c2 （3）b?a1c2?a2c1 b?a1c2?a2c1 分解结果：ax?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2) 例7、分解因式：3x?11x?10

分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11

解：3x?11x?10=(x?2)(3x?5)

练习7、分解因式：（1）5x?7x?6 （2）3x?7x?2 （3）10x?17x?3 （4）?6y?11y?10 （三）二次项系数为1的齐次多项式

222222222222222b 例8、分解因式：a?8ab?128分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 8b

1 -16b 8b+(-16b)= -8b

282=a2?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b) 解：a?8ab?12b =(a?8b)(a?16b)

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