与圆有关的最值(取值范围)问题
引例1:在坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限
内一点,且AC=2.设tan∠BOC=m,则m的取值范围是_________.
引例2:如图,在边长为1的等边△OAB中,以边AB为直径作⊙D,以O为圆心OA长为半径
作⊙O,C为半圆弧AB上的一个动点(不与A、B两点重合),射线AC交⊙O于点E,BC=a,AC=b,求a?b的最大值.
引例3:如图,∠BAC=60°,半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切,P为圆O上一动点,
以P为圆心,PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的最大值为( ).
A.3 B.6 C.33 D.33 2y
BC
O
COxA
ABD
一、题目分析:
此题是一个圆中的动点问题,也是圆中的最值问题,主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法,注重了初、高中知识的衔接
1.引例1:通过隐藏圆(高中轨迹的定义),寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律,转化为特殊位置(相切)进行线段、角度有关计算,同时对三角函数值的变化(增减性)进行了延伸考查,其实质是高中“直线斜率”的直接运用;
2.引例2:通过圆的基本性质,寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件,结合不等式的性质进行转化,其实质是高中“柯西不等式”的直接运用;
3.引例3:本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点,增加为三个动点,从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度,解答中还是注意动点D、E与一个定点A构成三角形的不变条件(∠DAE=60°),构造弦DE、直径所在的直角三角形,从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系,其实质是高中“正弦定理”的直接运用;
综合比较、回顾这三个问题,知识本身的难度并不大,但其难点在于学生不知道转化的套路,只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解,但对其真正的几何原理却无法通透.
二、解题策略
1.直观感觉,画出图形; 2.特殊位置,比较结果;
3.理性分析动点过程中所维系的不变条件,通过几何构建,寻找动量与定量(常量)之间的关系,建立等式,进行转化.
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三、中考展望与题型训练 例一、斜率运用
1.如图,A点的坐标为(﹣2,1),以A为圆心的⊙A切x轴于点B,P(m,n)为⊙A上的一个动点,请探索n+m的最大值.
例二、圆外一点与圆的最近点、最远点
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D是平面内的一个动点,且AD=2,M为BD的中点,在D点运动过程中,线段CM长度的取值范围是 .
A
D
M
CB
2.如图,⊙O的直径为4,C为⊙O上一个定点,∠ABC=30°,动点P从A点出发沿半圆弧AB向B点运动(点P与点C在直径AB的异侧),当P点到达B点时运动停止,在运动过程中,
过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.
(1)在点P的运动过程中,线段CD长度的取值范围为 ; (2)在点P的运动过程中,线段AD长度的最大值为 .
C ABO
例三、正弦定理 P1.如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=22,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径作⊙O分别交AB,AC于E,F两点,连接EF,则线段EF长度的最小值为 .
2. 如图,定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合),M是CD的中点,过点C作CP⊥AB于点P,若CD=3,AB=8,则PM长度的最大值是 .
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D
例四、柯西不等式、配方法
1.如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x(2<x<4),则当x= 时,PD?CD的值最大,且最大值是为 .
2.如图,线段AB=4,C为线段AB上的一个动点,以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE,⊙O外接于△CDE,则⊙O半径的最小值为( ). A.4 B.2332 C. D. 2 32E DO
ACB
3.在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限内,过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,线段AB长度的最小值是 .
例四、相切的应用(有公共点、最大或最小夹角)
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D为AB边上一点,过点D作CD的垂线交直线BC于点E,则线段CE长度的最小值是 . A
D CEBO
2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O,若⊙O与边BC始终有交点(包括B、C两点),则线段AO的取值范围是 .
A
O
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B