7-5-2.组合的基本应用（二）

教学目标

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；

2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合； 3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．

知识要点

一、组合问题

日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．

一般地，从n个不同元素中取出m个(m?n)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．

从n个不同元素中取出m个元素(m?n)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数．记作Cnm．

一般地，求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数Pmn可分成以下两步： 第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有Cnm种方法；

m种排法． 第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有Pmmm?Pm根据乘法原理，得到Pnm?Cn．

Pnmn（?n?1）（?n?2)?L（?n?m?1）因此，组合数C?m?．

Pmm（?m?1）（?m?2）?L?3?2?1mn这个公式就是组合数公式．

二、组合数的重要性质

mn?m?Cn一般地，组合数有下面的重要性质：Cn(m?n)

n?m这个公式的直观意义是：Cnm表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方法．Cn表示从n个元素中取出(n?m)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n个元素中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的(n?m)个元素的分组方法．

3?C52． 例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即C50?1． 规定Cnn?1，Cn

例题精讲

模块一、组合之几何问题

【例 1】 在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：

⑴ 直线段；⑵ 三角形；⑶ 四边形．

【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一

条线段；在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形；在10个点中取4个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题． 由组合数公式：

2P10?9210?45(条)直线段． ⑴ 可画出C10?2?P22?13P10?9?810?120(个)三角形． ⑵ 可画出C?3?P33?2?13104P10?9?8?710?210(个)四边形． ⑶ 可画出C?4?P44?3?2?1410234?45 ⑵C10?120 ⑶C10?210 【答案】⑴C10

【巩固】 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ 【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 这道题不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题，实际上是求从10个元素中取出2个元素的组合数，

10?92由组合数公式，C10??45，所以以10个点中每2个点为端点的线段共有45条．

2?1【答案】45

【巩固】 在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？ 【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 三角形的形状与三个顶点选取的先后顺序无关，所以这是一个组合问题，实际上是求从7个点中选

7?6?53出3个点的选法，等于C7??35(种)．

3?2?13?35 【答案】C7

【例 2】 平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．

⑴ 可确定多少个三角形？⑵ 可确定多少条射线？

【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ⑴ 分三类：

①有2个顶点在共线的6点中，另1个顶点在不共线的6点中的三角形有

6?526?C6?6??90个；

2?1②有1个顶点在共线的6点中，另2个顶点在不共线的6点中的三角形有

6?526?C6?6??90(个)；

2?16?5?43③3个顶点都在不共线的6点中的三角形有C6??20个．

3?2?1根据加法原理，可确定90?90?20?200个三角形． ⑵ 两点可以确定两条射线，分三类： ①共线的6点，确定10条射线；

6?52②不共线的6点，每两点确定两条射线，共有2?C6?2??30(条)射线；

2?1③从共线的6点与不共线的6点中各取一个点可以确定6?6?2?72(条)射线．

根据加法原理，可以确定10?30?72?112(条)射线．

【答案】⑴200 ⑵112

【巩固】 如图，问：⑴ 图1中，共有多少条线段？ ⑵ 图2中，共有多少个角？

BP9...P3P2P1A O

图1 图2

【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 ⑴ 在线段AB上共有7个点（包括端点A、B）．注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有

一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而C72表示从7个点中取两个不同点

的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有C72条线段． P727?6?21(条)不同的线段； 由组合数公式知，共有C?2?P22?127AC1C2C3C4C5B ⑵ 从O点出发的射线一共有11条，它们是OA， OP1，OP2，OP3，L，OP9，OB．注意到每两

条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角．显

22然，是组合问题，共有C11种不同的取法，所以，可组成C11个角．

2P11?1011?55(个)不同的角． 由组合数公式知，共有C?2?P22?12112?55 【答案】⑴C72?21 ⑵C11

模块二、组合之应用题

【例 3】 6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 这与课前挑战的情景是类似的．因为两个人握手是相互的，6个朋友每两人握手一次，握手次数只

与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题．

6?52由组合数公式知，C6??15(次)．所以一共握手15次．

2?1【答案】15

【巩固】 某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？ 【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答

20?192【解析】 C20??190(次)．

2?12【答案】C20?190

【例 4】 学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？ 【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 被选中的3门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题．

6?5?43由组合数公式知，C6??20(种)．

3?2?1所以共有20种不同的选法． 3?20 【答案】C6

【例 5】 有2克，5克，20克的砝码各1个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出 种

不同的质量。

【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第5题