“现代数字信号处理”复习思考题
一、给出DFT的定义和主要性质。
答：定义：离散傅里叶变换(DFT)，是傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换(DTFT)频域的采样。在形式上，变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。 性质：1、序列X(n)在时域里是有限长的（长度为n），他的离散傅里叶变换X（k）也是离散的、有限长的（长度也为n）。
2、n为时域变量，k为频域变量。
3、离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。
4、离散傅里叶变换具有唯一性。
5、DFT的物理意义：序列X(n)的z变换在单位圆上的等角距取样。
二、DTFT与DFT之间有什么关系？
DTFT是离散时间傅里叶变换，针对的是连续的信号和频谱。 DFT是离散傅里叶变换，针对的是离散的信号和频谱。 DFT是DTFT变化而来，其实就是将连续时间t变成了nT。为什么要这样做呢,因为计算机是在数字环境下工作的，它不可能看见或者处理现实中连续的信号，只能够进行离散计算，在真实性上尽可能地逼近连续信号。
所以DFT是为了我们能够去用工具分析信号而创造出来的,通常我们直接用DTFT的机会很少。DFT和DTFT都是频域上的分析，至于Z变换，是在时域上的分析，我们习惯叫Z域。Z变换主要的作用是通过分析信号或者脉冲响应的零点和极点，来得知其稳定性和时域上的特性。 对信号处理来首,时域和频域上的分析和处理都是必须的。
三、抽取过程为什么要先进行滤波，此滤波器应逼近什么样的指标？
为了防止原信号的频带过宽而造成抽样后频谱混叠，常常采用前置低通滤波器器滤除高频分量。
低通滤波器的技术指标主要有四项： 1、通带截止频率fp或角频率ωp 2、通带最大衰减系数ap 3、阻带截止频率fs或角频率ωs 4、阻带最小衰减系数as 现代数字信号处理论文：
小波分析的研究
小波变换是将信号分解成时域和尺度域的一种变换，不同的尺度对应于不同的频率范围，因此，对于图像信号这样的时频信号而言，小波变换是一种很好的分析工具。小波分析的时频局部化特性好，原图像的低频部分和高频部分经变换
后的系数比较集中，而不会像DCT那样形成幅值分散，故在保留同样多的细节信息的情况下需编码的系数较少。
小波分析是一个范围可变的窗口方法，可以用长的时间间隔来获得更精确的 低频信息，用短的时间间隔来获得高频信息，这样就有效地克服了Fourier变换在处理非平稳的复杂图像信号时存在的局限性。而且小波变换具有多分辨率分析能力，更适应人眼的视觉特性，因此在数字水印研究领域，小波变换扮演着十分重要的角色。
1.小波函数与小波变换
1.1连续小波基函数
小波 (wavelet)，即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为小波函数的定义为:设??t?为一平方可积函数，即??t??L2?R?，若其Fourier变换
????满足条件:C?=?R?(t)???d??? (1.1)
则称T (t)为一个基本小波或小波母函数，我们称式(1.1)为小波函数的可容许条件。
将小波母函数??t?进行伸缩和平移，就可以得到函数??,?(t)
??,??t?=
1?t?????? a,??R;a>0 (1.2) a?a?式(1.2)中，a为伸缩因子，T为平移因子，我们称??,??t?为依赖于参数a,?的小波基函数。
Fourier分析是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移与尺度伸缩得来的。根据直觉，用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比光滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特性用小波函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好???。 1.2连续小波变换
将任意L(R)空间中的函数f(t )在小波基下展开，称这种展开为函数f(t )
2的连续小波变换(ContinueW aveletTr ansform，简称为CWT)，其表达式为: WTf?a,?? =f(t),?a,?(t)=
1?t??? ?(t)??dt （1.3）?aR?a?由以上定义，我们可以看出小波变换也是一种积分变换，WTf(a,?),灼为小波变换系数。可以证明，若采用的小波满足容许条件，则连续小波变换存在着逆变换，逆变换公式为:
1f(t)=
C???da2?0a???????WTf(a,?)???a,?(t)d?
1= C?da2?a0???WTf(a,?)?(t??)d?a (1.4)
式(3.4) C?=?R?(t)???d??? 为对?(t)提出的容许条件。
在此需要进一步说明，在小波变换过程中，所采用的小波必须满足容许条件反变换才存在，由容许条件C?=?R?(t)???d???可以推断出:能用作基本小波?(t)
的函数至少必须满足?(??0)?0或者??(t)dt?0,也就是说，?(?)必须具有带
R通性质，且?(t)必须是有正负交替的MIA波形，使得其平均值=0，这便是称之为“小波”的原因。另外，在实际中，对基本小波的要求往往不局限于满足容许条 件，对?(t)还要施加所谓的“正则性条件”，使?(?)在频域上表现出较好的局限性能。为了在频域上有较好的局限性，要求WTf(a,?)随a的减小，所以这就要求?(t)的前n阶原点矩为0，且n值越高越好，即
?t?（t）d(t)=0 p =1~ n ，且 n值越大越好 (1.5)
?(?)在?=0处有高阶零点，此要求在频域内表示就是，且阶次越高越好(一阶零点就是容许条件)，即
p?(?)=?n?1?0(?) ?0(??0)?0, n 越大越好 (1.6)
上两式就是正则性条件。如果 用 上 述变换公式来处理图像信息，还需要