专题一 求极限的方法

【考点】求极限

1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的

概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。 2、 极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、

单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在）

3、 要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理

化，变量代换等等。

11xsinx4、 两个重要极限lim?1 lim(1?)?lim(1?x)x?e，注意变形，如将第二个式

x??x?0x?0xx子x?0lim(1?x)?e1x?中的x变成某趋向于0的函数f(x)以构造“1”的形式的典型求极

限题目。

5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如： （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限

（2） 函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解

题，如

limex?11x?1因左右极限不相等而在这点极限不存在。（当式子中出现绝对值和e

的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发）

（3） 遇到无限项和式求极限时想三种方法：

①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限 ②夹逼定理

③用定积分的概念求解。

（4）如果f(x)/g(x)当x→x0时的极限存在，而当x→x0时g(x)→0，则当x→x0时f(x)也 →0

（5）一个重要的不等式：sinx?x（x?0） *其中方法②③考到的可能性较大。

6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。

7、 闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、 此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。

【例题精解·求极限的方法】

方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。

xm?1【例1】求极限 limn

x?1x?1xm?1(x?1)(xm?1?xm?2?…1)m?lim解 limn=

x?1x?1x?1(x?1)(xn?1?xn?2?…1)n注：此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。还可通过变量代换构造等价量。 【例2】求极限lim(x?1?x???2x2?x)

1?xx2?1?x2?x?1 2解 lim(x?1?x???2x2?x)?limx???注：1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法——有理化和采取倒变量的方法。

a1xn?a2xn?1?…?an2、一个最基本的多项式极限lim(系数均不为0)：

x???bxm?bxm?1?…?b12n①若n>m，则极限为正无穷；

②若n

a1。（本质为比较次数） b11要注意的是x是趋向于正无穷，而且分子分母遇到根号时要以根号里x的最高次的次来

2计算，如x2?1的次数为1。

方法二：利用单调有界准则来证明极限存在并求极限 【例3】设u1??12，un?1?12?un(n?1,2,...),证明limun存在并求之

n??

方法三：利用夹逼定理——适用于无限项求极限时可放缩的情况。

【例4】求极限lim11?n2?n3?...?nnn??n??

111nnnn1?2?3?...?n??nn=nn 解 因 1=?n?nnn??n而 lim1=limn=1

n??n??1nnnlim1?2?3?...?n故由夹逼定理n??n??=1

方法四&方法五：等价量代换、洛必达法则——未定式极限。（化加减为乘除！）

etanx?exlim【例5】求极限x?0tanx?x

ex(etanx?x?1)ex(tanx?x)lim?lim?1

解 原式=x?0x?0tanx?xtanx?x

【例6】求极限 解

x???limx(a?a1x1x?121x1x?1)

12x?111?xx?11x(x?1)x???limx2a(?a)=lximax???a(??1)x2l?i?max???1?(=

1)

1limx2??1?lan?x???x(x?1)la n